Hallo,

nachdem deine Aussage syntaktisch (vom Aufschreiben her) Sinn macht, kannst du dich um die Semantik (den Wahrheitsgehalt) kümmern! :)

Du hast die Aussage, dass es ein reelles \(c\) für alle \(x\) gibt, sodass immer wenn \(x^2+x+c=0\) gilt, automatisch \(x\leq0\) gelten muss. 

Du kannst die Aussage durch Angabe des \(c\) beweisen, indem du anschließend zeigst, dass der Rest der Aussage stimmt. Nehmen wir dein \(c=0,25\) mal als Beispiel. Dann ist die Aussage:

$$\forall x\in\mathbb{R}[(x^2+x+0,25=0)\Rightarrow(x\leq0)]$$

Wir müssen also die quadratische Gleichung lösen. Die einzige Lösung ist \(x=-0,5\). Somit gibt es ein \(c\), nämlich deins (\(0,25\)), sodass für alle \(x\) für die die Gleichung gilt (nur \(x=-0,5\)) auch \(x\leq0\) gilt.

Die Aussage ist durch Angeben von \(c\) und \(x\) sowie der Begründung: "Nur dieses eine \(x\) macht die linke Seite der Implikation wahr und damit auch die rechte Seite der Implikation" gezeigt! :)

Hallo,

deine Aussage macht so aufgeschrieben (syntaktisch) glaube ich keinen Sinn. Sinn würde solch eine Aussage machen:

$$\exists c\in\mathbb{R}\forall x\in\mathbb{R}[(x^2+x+c=0)].$$

Das bedeutet, dass es ein \(c\) aus den reellen Zahlen gibt, sodass für alle reellen \(x\) die Gleichung gilt. Das ist offensichtlich falsch, denn die negierte Aussage:

$$\forall c\in\mathbb{R}\exists x\in\mathbb{R}[(x^2+x+c\neq0)].$$

ist offensichtlich wahr, denn du kannst ja zu jedem \(c\) einfach ein so großes \(x\) wählen, dass die linke Seite viel größer wird als \(0\).

Du musst also aufpassen, dass du die Sachen sinnvoll aufschreibst. Aber vielleicht bin ich auch mit der Schreibweise nicht vertraut, was auch sein kann... 

Auf jeden Fall fehlt eine runde Klammer zu. Und was \(x\Rightarrow0\) heißen soll, da hab ich leider keine Ahnung und der Wahrheitsgehalt eines Terms wie \(x^2+x+c\) ist auch nicht zu bestimmen, falls \(x\) und \(c\) Zahlen sind. Außerdem brauchst du bei einem Quantor eine Menge als Einschränkung wie beispielsweise die reellen Zahlen, oder die Menge die aus wahr und falsch besteht. 

Vielleicht hilft dir ja schonmal mein Video zu Quantoren:

https://youtu.be/aJ1Bkd9fGsw

und du kannst danach nochmal präzisere Fragen stellen! :)