Sword Art Online und die natürlichen Zahlen aus dem Nichts ...


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https://youtu.be/R3LKp8IQmJ8

1. Einführung

Jeder kennt sie: die natürlichen Zahlen. Das sind die ersten Zahlen, mit denen man in seinem Leben konfrontiert wird. Wer erinnert sich nicht daran zurück, wie er als kleines Kind mit seinen Fingern langsam das Zählen erlernte? Erst \(1\), dann \(2\), dann \(3\) und immer so weiter ... bis einem bei der \(10\) die Finger ausgehen. Später lernt man dann, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt und nähert sich so langsam dem Begriff der Unendlichkeit \(\infty\). Doch nicht nur in der abstrakten Welt der Mathematik spielen die natürlichen Zahlen eine Rolle. Immer dann, wenn du im Alltag etwas abzählen möchtest (z. B. Eier für einen Kuchen oder Geldstücke im Portemonnaie), spielen die natürlichen Zahlen eine Rolle. Auch Hausnummern und Bahnsteige sind für gewöhnlich mit natürlichen Zahlen durchnummeriert (Harry Potter mag dort vielleicht eine Ausnahme sein). Doch woher stammt nun der reißerische Titel dieses Artikels? Wie kann man denn nun die natürlichen Zahlen „aus dem Nichts“ erschaffen?

2. Neumanns Bauanleitung für die natürlichen Zahlen

Diese Frage hat der Mathematiker John von Neumann beantwortet, indem er für die Konstruktion der natürlichen Zahlen ausschließlich den Begriff der Menge verwendet hat. Eine Menge ist nach Georg Cantor (ebenfalls ein Mathematiker) „eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen“. Mengen definiert man durch einen Buchstaben, geschweifte Klammern und Elementen, die man durch ein Komma getrennt innerhalb der geschweiften Klammern platziert: $$A:=\{1, 42, -1, 0\}$$ Die Elemente in einer Menge liegen ungeordnet vor und tauchen nicht mehrfach auf (schließlich sind die Elemente in einer Menge wohlunterscheidbar). Genauso ist übrigens auch in der Informatik die Datenstruktur <i>Set</i> definiert, die es in verschiedenen Programmiersprachen gibt. In einem Set taucht kein Elemente doppelt auf und es gibt auch keine verlässliche Reihenfolge, in der die Elemente im Set liegen. Die Menge, die keine Elemente besitzt, heißt <i>leere Menge</i> und wird mit dem Symbol \(\emptyset\) gekennzeichnet. $$\{\}=\emptyset$$ Wie erfolgt nun die Konstruktion? Am Anfang der natürlichen Zahlen steht die \(0\). Da die leere Menge \(0\) Elemente enthält, ist es sinnvoll, über sie die \(0\) zu definieren, d. h. $$0:=\emptyset$$ Wie kann man jetzt mit diesem Wissen die nächste natürliche Zahl (also die \(1\)) definieren? Ganz einfach! Wir packen die leere Menge in eine Menge. $$1:=\{\emptyset\}$$ Die so enstandene Menge enthält genau ein Element, nämlich die leere Menge \(\emptyset\). Wie baut man sich jetzt die \(2\) zusammen? Hierfür definiert man sich eine neue Menge, die die \(0\) und die \(1\) in der Mengenschreibweise beinhaltet, d. h.: $$2:=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$$ Du fügst zur Mengendarstellung der \(1\) also die Menge hinzu, die \(1\) enthält. Diese Menge enhält zwei Elemente, nämlich die leere Menge \(\emptyset\) und die Menge, die die leere Menge enthält \(\{\emptyset\}\). Du kannst dir vielleicht bereits denken, wie die \(3\) zusammengebaut wird. Du nimmst die Mengendarstellung der \(2\) und fügst die Menge hinzu, die die \(2\) in Mengennotation enthält, d. h.: $$3:=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}$$ Die so entstandene Menge enthält \(3\) Elemente, nämlich die leere Menge \(\emptyset\), die Menge, die die leere Menge enthält (also \(\{\emptyset\}\)) und die Menge, die die leere Menge und die Menge mit der leeren Menge enthält (also \(\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\)). Bei den Beispielfällen zur Konstruktion der Zahlen \(1, 2\) und \(3\) hast du bereits gesehen, wie man von \(n\) zu \(n+1\) gelangt. Der allgemeine Bauplan beschreibt wiederum einen Algorithmus. Um die natürliche Zahl \(n+1\) mit Mengen zu definieren, nimmst du die Mengendarstellung der Zahl \(n\) und vereinigst diese Menge mit der Menge, die \(n\) in der Mengendarstellung enthält. Das ist ein ziemlich einfacher Bauplan, der sich die sogenannte Rekursion zunutze macht, da man zum Bauen von \(n+1\) den Vorgänger \(n\) verwenden muss. Mit diesem Mengensystem kann man auch rechnen. Zudem ist es möglich, Lagebeziehungen zwischen den so konstruierten Zahlen herzustellen. \(1\) ist z. B. kleiner als \(3\), da die Mengendarstellung von \(1\) eine Teilmenge der Mengendarstellung von \(3\) ist: $$\{\emptyset\}\subset \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}$$

3. Der Denkfehler in Sword Art Online

In dem "Anime Sword Art Online: Ordinal Scale" wird diese Konstruktion der natürlichen Zahlen ebenfalls referenziert. Der Filmtitel ist jedoch irreführend, weil nicht die Ordinalskala im Sinne der Statistik vorkommt, sondern die Ordinalzahlen. Die Ordinalskala ordnet Variablen mit verschiedenen Merkmalsausprägungen in eine klare Rangfolge. Die Abstände zwischen den einzelnen Rängen sind jedoch nicht vergleichbar, da sie nicht quantifiziert sind. Zudem weicht die Logik der Autoren von der Logik Neumanns ab. Betrachten wir dazu den folgenden Ausschnitt:

Bei diesem Zeichen handelt es sich um den hebräischen Buchstaben Aleph. Mit dem Index \(0\) liest man an dieser Stelle Aleph 0. Dieses \(\aleph_0\) wird verwendet, um die kleinste Unendlichkeit in der Mathematik zu bezeichnen, nämlich die der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\). Warum sprechen wir hier von der kleinsten Unendlichkeit? Weil es in der Mathematik verschiedene Arten der Unendlichkeit gibt. Wenn du an die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) denkst und sie mit den natürlichen Zahlen vergleichst, dann stellst du intuitiv fest, dass es von den reellen Zahlen irgendwie mehr als von den natürlichen Zahlen geben muss. Und um diese Abstufungen auch symbolisch darzustellen, hat man u. a. \(\aleph_0\) eingeführt. In der nächsten Szene wird klar, weshalb hier \(\aleph_0\) steht.

Hier geht es nämlich offensichtlich um die natürlichen Zahlen (inklusive der Null). Zudem werden die Namen der natürlichen Zahlen unten (auf Englisch) aufgeführt. Wenn man genauer sein möchte, geht es hier eigentlich um die Karidnalszahlen, die eine Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen darstellen, um die Mächtigkeit von Mengen beschreiben zu können. Die Punkte (...) zur Andeutung, wie die zuvor gezeigten Zahlenfolgen weitergeführt werden, kommen an vielen Stellen in der Mathematik vor, um verallgemeinerte Aussagen zu formulieren. Bis zu diesem Punkt stimmen die Darstellungen im Anime noch.

In der nächsten Szene wird jedoch ein Kardinalsfehler begangen.

Hier wurde das Ordinalzahlensystem vorgestellt. In der Deutschen Sprache werden als Ordinalzahlen (oder auch Ordnungszahlen) die Zahlen benannt, ie eine bestimmte Stelle in einer geordneten Reihe angeben. Sie geben also eien Antwort auf die Frage der/die/das wievielte, also erste, zweite, dritte usw.. Insoweit stimmt die Darstellung noch. In der Mathematik versteht man unter den Ordinalzahlen Objekte, die den Ordnungstyp einer wohlgeordneten Menge repräsentiert (also quasi das Konzept der Reihenfolge bzw. Index umsetzt). Unter dem großgeschriebenen Wort ORDINAL ist die von den Drehbuchautoren interpretierte Darstellung der Ordinalzahlen abgebildet. Diese weicht jedoch stark von der Neumannschen Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen im Mengenkosmos ab. Wenn wir \(0\) als die leere Menge \(\emptyset\) interpretieren, dann sind die \(0\) und die \(1\) noch korrekt dargestellt. Die zwei müsste jedoch dann jedoch \(\{0, \{0\}\}\) lauten, was hier nicht der Fall ist, da in jedem Schritt nur eine weitere Klammer hinzukommt. Das Konzept der Ordnungsrelationen \(\gt \) und \(\lt\) wird dadurch ausgehebelt, denn obwohl \(1\lt 3\) ist, ist in der von den Autoren gewählte Darstellung \(\{0\}\) keine Teilmenge von \(\{\{\{0\}\}\}\).

Der eingekreiste griechische Buchstabe \(\omega\) (klein Omega) wird in der sogenannten transfiniten Arithmetik (also der Arithmetik der Ordinalzahlen) eingesetzt. \(\omega\) ist die erste transfinite Ordinalzahl, d. h. die geordnete Menge aller natürlichen Zahlen. Diese ist nicht zu verwechseln mit \(\aleph_0\), was lediglich die Mächtigkeit (also die Anzahl der Elemente) der natürlichen Zahlen beschreibt. Was \(\omega\) in dieser Szene zu suchen hat, wissen wohl nur die Autoren. Vermutlich sollte mit den verwendeten Symbolen noch einmal eine optische Trennung zwischen den Kardinal- und Ordinalzahlen getroffen werden.

Was die Unterscheidung zwischen den Kardinal- und Ordinalzahlen mit der Programmierung im Backend zu tun haben soll, können wohl ebenfalls nur die Autoren beantworten. Vielleicht hast du eine Idee. Du solltest jedenfalls mitnehmen, dass man nicht alles blind glauben soll, was in Film und Fernsehen über die Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften behauptet wird.

 

Mathe Artikel, geschrieben vor 1 Monat, 2 Wochen
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