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Hallo,
ich habe es jetzt nicht ganz durchgerechnet, aber ich würde es mal mit der Restgliedabschätzung der Taylorreihe versuchen.
Der linke Ausdruck entsteht nämlich durch
$$ \vert e^{ix} - \sum_{k=0}^{n} \frac {x^k} {k!} \vert $$
wobei die Summe die abgebrochene Taylorreihe der Exponentialfunktion ist und die rechte Seite der Ungleichung ist der Restgliedabschätzung sehr ähnlich. Durch weiteres abschätzen, sollte diese Ungleichung zu beweisen sein.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Hmm ich überlege die ganze Zeit wie das im komplexen mit dem Restglied war. Bei der Bestimmung der Taylorreihe gab es keinen großen Unterschied.
Ich denke man kann mindestens die komplexen Zahlen als zweidimensionalen reellen Vektorraum auffassen und die mehrdimensionale Taylorreihe nutzen. Das sollte definitiv zum Ziel führen.
Aber ich meine es müsste auch so gehen. Vielleicht liegt das an bestimmten voraussetzungen der Funktion. Da bin ich mir gerade leider unsicher, aber es gilt
$$ \vert f(x) - T_n f(x;a) \vert = \vert R_nf(x;a) \vert $$
Die linke Seite ist klar.
Das Restglied können wir folgendermaßen abschätzen
$$ \vert R_nf(x;a) \vert \leq \sup \left| \frac {f^{(n+1)}(\zeta)} {(n+1)!} (x-a)^{n+1} \right| $$
Nun lief deine Taylorreihe nur bis \( n-1 \), also werden in der Abschätzung schon mal alle \( n+1 \) zu \( n \).
Außerdem gilt
$$ \vert f^{n+1}(\zeta) \vert = \vert i^n e^{i\zeta} \vert = \vert i^n \vert \cdot \vert e^{i\zeta} \vert $$
\( \vert i^n \vert = 1 \), denn \( i^n \in \{i, -1 , -i , 1 \} \) und diese Zahlen haben alle den Abstand \( 1\) vom Ursprung. Außerdem gilt
$$ f(\zeta) = e^{i \zeta} = \cos(\zeta) + i \sin(\zeta) $$
Im zweidimensionalen, liefert dies den Einheitskreis. Somit ist das Supremum des Betrags dieser Funktion auch \( 1 \).
Damit erhalten wir die Restgliedabschätzung
$$ \vert R_nf(x;a) \vert \leq \vert \frac {(x-a)^n} {n!} \vert $$
Mit dem Entwicklungspunkt \( a = 0 \), erhälst du deine Ungleichung.
Grüße Christian ─ christian_strack 30.10.2019 um 14:53
Ich denke man kann mindestens die komplexen Zahlen als zweidimensionalen reellen Vektorraum auffassen und die mehrdimensionale Taylorreihe nutzen. Das sollte definitiv zum Ziel führen.
Aber ich meine es müsste auch so gehen. Vielleicht liegt das an bestimmten voraussetzungen der Funktion. Da bin ich mir gerade leider unsicher, aber es gilt
$$ \vert f(x) - T_n f(x;a) \vert = \vert R_nf(x;a) \vert $$
Die linke Seite ist klar.
Das Restglied können wir folgendermaßen abschätzen
$$ \vert R_nf(x;a) \vert \leq \sup \left| \frac {f^{(n+1)}(\zeta)} {(n+1)!} (x-a)^{n+1} \right| $$
Nun lief deine Taylorreihe nur bis \( n-1 \), also werden in der Abschätzung schon mal alle \( n+1 \) zu \( n \).
Außerdem gilt
$$ \vert f^{n+1}(\zeta) \vert = \vert i^n e^{i\zeta} \vert = \vert i^n \vert \cdot \vert e^{i\zeta} \vert $$
\( \vert i^n \vert = 1 \), denn \( i^n \in \{i, -1 , -i , 1 \} \) und diese Zahlen haben alle den Abstand \( 1\) vom Ursprung. Außerdem gilt
$$ f(\zeta) = e^{i \zeta} = \cos(\zeta) + i \sin(\zeta) $$
Im zweidimensionalen, liefert dies den Einheitskreis. Somit ist das Supremum des Betrags dieser Funktion auch \( 1 \).
Damit erhalten wir die Restgliedabschätzung
$$ \vert R_nf(x;a) \vert \leq \vert \frac {(x-a)^n} {n!} \vert $$
Mit dem Entwicklungspunkt \( a = 0 \), erhälst du deine Ungleichung.
Grüße Christian ─ christian_strack 30.10.2019 um 14:53
ja auch das hatte ich versucht, allerdings ohne Erfolg. Zudem ist (mir) lediglich das Taylor-Theorem für reelle Funktionen bekannt. Als ich es über das Restglied + Mittelwertsatz versucht hatte, führte das leider auch zu nichts... ─ orbit 28.10.2019 um 22:15