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Hallo,
Stochastik ist leider nicht mein Steckenpferd. Aber da es scheint, das gerade keiner eine Antwort parat hat, habe ich mich mal etwas belesen.
Die Spektrallücke ist die Differenz zwischen größten und zweitgrößtem Eigenwert.
Ist dir klar was ein Eigenwert ist?
Dieser Eigenwert (hatte ich in einem Satz gesehen) dominiert wohl sehr stark in der Berechnung der Konvergenzgeschwindigkeit.
Da ich nicht so wirklich weiß welches Vorwissen du hast, lass ich das erstmal so stehen. Wenn die Frage damit nicht geklärt ist, dann melde dich gerne nochmal, zusammen bekommen wir das schon heraus. :)
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Danke das ist sehr nett, dass du mir helfen willst. Natürlich weiß ich schon was Eigenwerte sind. Ich hab auch schon alles mögliche darüber herausgefunden aber ich verstehe diese kryptischen Formeln irgendwie nicht so ganz. Ich finde vor allem immer andere Formeln. Es wäre ja auch mal gut, wenn mal überall die gleiche Formel stehen würde... Da geht es dann auch um Konvergenzgeschwindigkeit. Entschuldige, dass ich mich so lange nicht gemeldet, habe. Ich habe gedacht, es kommt sowieso keine Antwort mehr... :-)
─
jonas66
01.11.2019 um 14:42
Wenn ich kann helfe ich immer gerne :)
Vielleicht magst du die gefundene Formel einmal hochladen und ich versuche sie dir dann zu übersetzen.
Wenn es mehrere Formeln gibt, kann das daran liegen das entweder unterschiedliche Fälle behandelt oder andere Abschätzungen genutzt wurden.
Wenn du beide hochlädst, kann ich mir auch gerne mal angucken inwiefern sich diese unterscheiden.
Grüße Chrsitian ─ christian_strack 01.11.2019 um 15:16
Vielleicht magst du die gefundene Formel einmal hochladen und ich versuche sie dir dann zu übersetzen.
Wenn es mehrere Formeln gibt, kann das daran liegen das entweder unterschiedliche Fälle behandelt oder andere Abschätzungen genutzt wurden.
Wenn du beide hochlädst, kann ich mir auch gerne mal angucken inwiefern sich diese unterscheiden.
Grüße Chrsitian ─ christian_strack 01.11.2019 um 15:16
Ich hab mal beide Buchseiten, die mir zur Verfügung stehen hochgeladen. Leider werden dort immer wieder neue Variablen und Buchstaben eingeführt und ich komme nicht darauf was sie bedeuten sollen. LG Jonas
─
jonas66
01.11.2019 um 17:52
Sehe ich das richtig, dass das untere Bild das erste ist?
Ich habe jetzt nicht alles gelesen, aber es scheint das vor dem zweiten Bild die Konvergenzgeschwindigkeit hergeleitet wird, oder?
Grüße Christian ─ christian_strack 02.11.2019 um 14:35
Ich habe jetzt nicht alles gelesen, aber es scheint das vor dem zweiten Bild die Konvergenzgeschwindigkeit hergeleitet wird, oder?
Grüße Christian ─ christian_strack 02.11.2019 um 14:35
Ja das zweite Bild ist eigentlich das erste. Hab ich vertauscht sry
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jonas66
02.11.2019 um 14:36
Kein Problem, aber ging es dir nicht um die Formel der Konvergenzgeschwindigkeit?
Beim Überfliegen sieht das eher für mich so aus als würde dieser vor der Seite 400 hergeleitet werden und dort stehen nur zwei Beispiele zur Bestimmung der Eigenwerte bei sehr großen Ereignisräumen, ─ christian_strack 02.11.2019 um 14:39
Beim Überfliegen sieht das eher für mich so aus als würde dieser vor der Seite 400 hergeleitet werden und dort stehen nur zwei Beispiele zur Bestimmung der Eigenwerte bei sehr großen Ereignisräumen, ─ christian_strack 02.11.2019 um 14:39
Ich hab halt nur das dazu gefunden. Mein Lehrer gab mir noch den Anhaltspunkt |v_n-v_grenz|~a^n sein und dann soll man da den Logarithmus ziehen und da kommt dann ein fallender Graph heraus aber ich weiss nicht was ich da schreiben soll weil ich seine Variablen nicht mal verstehe.
─
jonas66
02.11.2019 um 14:49
Hast du nicht die Seite 398 und 399? Vielleicht steht genau das ja auf der Seite davor.
So aus der Luft gegriffen kann ich dir damit leider sonst keine wirkliche Antwort geben. Da ich nicht viel Erfahrung in dem Gebiet habe und Notationen sich sowieso unterscheiden können will ich da nicht vermuten.
─ christian_strack 02.11.2019 um 14:57
So aus der Luft gegriffen kann ich dir damit leider sonst keine wirkliche Antwort geben. Da ich nicht viel Erfahrung in dem Gebiet habe und Notationen sich sowieso unterscheiden können will ich da nicht vermuten.
─ christian_strack 02.11.2019 um 14:57
Ich hab mal das Bild eingefügt. Sorry für 90°-Drehung. Außerdem hab ich noch zwei interessante Links gefunden. Vielleicht magst du da auch nochmal drüberschauen
─
jonas66
02.11.2019 um 15:09
Guck ich gleich mal drüber :)
Wie eilig ist das ganze? Hätte morgen viel mehr Ruhe und würde es mir dann angucken wenn es nicht gerade schon sehr eilt.
─ christian_strack 02.11.2019 um 15:11
Wie eilig ist das ganze? Hätte morgen viel mehr Ruhe und würde es mir dann angucken wenn es nicht gerade schon sehr eilt.
─ christian_strack 02.11.2019 um 15:11
Eigentlich eilt es schon sehr, denn die Arbeit muss ich am Dienstag abgeben
─
jonas66
02.11.2019 um 15:13
Also ich habe mir jetzt mal etwas angeguckt. Leider habe ich nirgends eine Formel gefunden die mit der Spektrallücke abschätzt. Allerdings habe ich natürlich nicht die kompletten Links durch gearbeitet. Da dies auch nicht unbedingt mein Themenbereich ist, muss ich leider auch viele Sachen nachlesen.
Nun finde ich aber du solltest von deinem zweiten Link die Einleitung vielleicht nochmal lesen. Die fast die ganze Idee (aber leider auch mehr) der Konvergenzgeschwindigkeit relativ gut zusammen.
Da die Beweise und Rechnung vermutlich deine Arbeit sprengen würden, da diese viele Elemente der Maßtheorie und Funktionalanalysis benötigt, würde ich mich mehr auf die Theorie beschränken.
Dein erster Link fängt mit folgender Idee an.
Im 1 Kapitel wird erstmal ein allgemeiner Konvergenzsatz hergeleitet.
Das Kapitel läuft daraus hinaus den Satz 1.4 zu beweisen.
Zur Herleitung des Konvergenzssatzes 1.4 wird die sogenannte Totalvariationsnorm herangezogen..
$$ \Vert \cdot \Vert_{TV} $$
Ich meine ich habe mal irgendwo gelesen, dass die Totalvariationsnorm für die sogenannte schwache Konvergenz der Maßtheorie genutzt wird (Maßtheorie ist die zugrundeliegende Theorie auf der die Wahrscheinlichkeitstheorie aufbaut). Kann dir dazu aber keine Quelle nennen.
Ansoten finden sich noch Abschätzung zum Abstand zur stationären Verteilung, aber diese kann ich persönlich nicht mit Spektrallücken in Verbindung bringen
Ich denke ein wesentlicher Punkt zur Herleitung der Abschätzung mit der Spektrallücke kommt durch die Doeblin Bedingung (2ter Link 2tes Kapitel) oder viel mehr die Abschwächung Hypothese D (Definition 2.1.4).
Wenn nämlich die Doeblin Bedingung erfüllt ist, so ist die MK konvergent in Totalvariation. (Satz 2.1.5)
Beim Überschlagen würde ich sagen in Kapitel 3 wird die Bedingung und vor allem der Satz 2.1.6 abgeschätzt. Ich kann mir vorstellen da kommt die Abschätzung irgendwo zu stande.
Auf den Bildern die du hochgeladen hast, wird leider auch nicht mit der Spektrallücke abgeschätzt. Dort wird nur am Ende erwähnt das die Konvergenzgeschwindigkeit exponentiell mit der Spektrallücke ansteigt.
Leider kann ich dir sonst nicht wirklich weiter helfen. Ohne einen zutreffenden Satz müsste ich selbst länger recherchieren.
Grüße Christian ─ christian_strack 02.11.2019 um 19:46
Nun finde ich aber du solltest von deinem zweiten Link die Einleitung vielleicht nochmal lesen. Die fast die ganze Idee (aber leider auch mehr) der Konvergenzgeschwindigkeit relativ gut zusammen.
Da die Beweise und Rechnung vermutlich deine Arbeit sprengen würden, da diese viele Elemente der Maßtheorie und Funktionalanalysis benötigt, würde ich mich mehr auf die Theorie beschränken.
Dein erster Link fängt mit folgender Idee an.
Im 1 Kapitel wird erstmal ein allgemeiner Konvergenzsatz hergeleitet.
Das Kapitel läuft daraus hinaus den Satz 1.4 zu beweisen.
Zur Herleitung des Konvergenzssatzes 1.4 wird die sogenannte Totalvariationsnorm herangezogen..
$$ \Vert \cdot \Vert_{TV} $$
Ich meine ich habe mal irgendwo gelesen, dass die Totalvariationsnorm für die sogenannte schwache Konvergenz der Maßtheorie genutzt wird (Maßtheorie ist die zugrundeliegende Theorie auf der die Wahrscheinlichkeitstheorie aufbaut). Kann dir dazu aber keine Quelle nennen.
Ansoten finden sich noch Abschätzung zum Abstand zur stationären Verteilung, aber diese kann ich persönlich nicht mit Spektrallücken in Verbindung bringen
Ich denke ein wesentlicher Punkt zur Herleitung der Abschätzung mit der Spektrallücke kommt durch die Doeblin Bedingung (2ter Link 2tes Kapitel) oder viel mehr die Abschwächung Hypothese D (Definition 2.1.4).
Wenn nämlich die Doeblin Bedingung erfüllt ist, so ist die MK konvergent in Totalvariation. (Satz 2.1.5)
Beim Überschlagen würde ich sagen in Kapitel 3 wird die Bedingung und vor allem der Satz 2.1.6 abgeschätzt. Ich kann mir vorstellen da kommt die Abschätzung irgendwo zu stande.
Auf den Bildern die du hochgeladen hast, wird leider auch nicht mit der Spektrallücke abgeschätzt. Dort wird nur am Ende erwähnt das die Konvergenzgeschwindigkeit exponentiell mit der Spektrallücke ansteigt.
Leider kann ich dir sonst nicht wirklich weiter helfen. Ohne einen zutreffenden Satz müsste ich selbst länger recherchieren.
Grüße Christian ─ christian_strack 02.11.2019 um 19:46
Trotzdem danke, kannst du mir noch was dazu erzählen, was mir mein Lehrer mitgegeben hat oder verstehst du das auch nicht? LG Jonas
─ jonas66 03.11.2019 um 08:49
Was genau meinst du? Ich habe dir doch zu allen Links und Bildern was geschrieben.
─ christian_strack 03.11.2019 um 12:53
─ christian_strack 03.11.2019 um 12:53
|v_n-v_grenz|~a^n
Das hatte ich in einem Kommentar geschrieben ─ jonas66 03.11.2019 um 13:49
Das hatte ich in einem Kommentar geschrieben ─ jonas66 03.11.2019 um 13:49
Das ist genau das was der Konvergenzsatz aussagt. Schau mal in deinen ersten Link. In meinem vorletzten Kommentar, bezieht sich der Teil mit der Totalvariationsnorm auf diesen Konvergenzsatz.
Wie gesagt gibt es in der Maßtheorie verschiedene Konvergenzbegriffe. ich meine die Totalvariationsnorm $$ \Vert \cdot \Vert_{TV} $$
steht im direkten Bezug zur schwachen Konvergenz.
Daraus lässt sich dann der Konvergenzsatz 1.4 herleiten.
Dieser wird auch in deinen Bildern genutzt um die Abschätzung
$$ \Vert \mu p^n - \pi \Vert_{TV} \leq C \vert \lambda_2 \vert^n $$
zu erhalten.
Und daraus schließt er auf Seite 400 (ganz oben links) das die Konvergenzgeschwindigkeit exponentiell zu Spektrallücke anwächst.
Zu diesem Übergang kann ich dir leider nichts sagen. Den finde ich eben nirgends. Allerdings denke ich wie gesagt eh das viel Theorie zu anspruchsvoll ist, da die Maßtheorie und Funktionalanalysis zwei späte und meiner Meinung nach anspruchsvolle Themengebiete sind.
VIelleicht reicht deinem Prof schon dieser Bezug. Quellen kannst du zum Konvergenzsatz ja geben und durch das Buch in den Bildern auch den Bezug zur Spektrallücke nur das warum bleibt leider offen.
Grüße Christian ─ christian_strack 03.11.2019 um 14:01
Wie gesagt gibt es in der Maßtheorie verschiedene Konvergenzbegriffe. ich meine die Totalvariationsnorm $$ \Vert \cdot \Vert_{TV} $$
steht im direkten Bezug zur schwachen Konvergenz.
Daraus lässt sich dann der Konvergenzsatz 1.4 herleiten.
Dieser wird auch in deinen Bildern genutzt um die Abschätzung
$$ \Vert \mu p^n - \pi \Vert_{TV} \leq C \vert \lambda_2 \vert^n $$
zu erhalten.
Und daraus schließt er auf Seite 400 (ganz oben links) das die Konvergenzgeschwindigkeit exponentiell zu Spektrallücke anwächst.
Zu diesem Übergang kann ich dir leider nichts sagen. Den finde ich eben nirgends. Allerdings denke ich wie gesagt eh das viel Theorie zu anspruchsvoll ist, da die Maßtheorie und Funktionalanalysis zwei späte und meiner Meinung nach anspruchsvolle Themengebiete sind.
VIelleicht reicht deinem Prof schon dieser Bezug. Quellen kannst du zum Konvergenzsatz ja geben und durch das Buch in den Bildern auch den Bezug zur Spektrallücke nur das warum bleibt leider offen.
Grüße Christian ─ christian_strack 03.11.2019 um 14:01
Vielleicht noch als Anmerkung:
Eine Norm ist in der Mathematik eine Art von Länge. Erst durch eine Länge können wir einen Abstand berechnen. Also brauchen wir eine Norm um den Abstand zur stationären Verteilung zu messen.
In der Maßtheorie greift man dabei oft auf die Totalvariationsnorm zurück. ─ christian_strack 03.11.2019 um 14:05
Eine Norm ist in der Mathematik eine Art von Länge. Erst durch eine Länge können wir einen Abstand berechnen. Also brauchen wir eine Norm um den Abstand zur stationären Verteilung zu messen.
In der Maßtheorie greift man dabei oft auf die Totalvariationsnorm zurück. ─ christian_strack 03.11.2019 um 14:05
Ja ich hab mir das mit der Totalvariationsnorm nochmal durchgelesen und verstehe es nicht wirklich. Könntest du es mir bitte vielleicht nochmal in einfachen Worten zusammenfassen?
─
jonas66
03.11.2019 um 14:29
Gucken wir uns zuerst den Betrag an. Es gilt beispielsweise
$$ \vert -7 \vert = 7 $$
Wenn wir uns nun den Zahlenstrahl angucken, Ist die Länge vom Urpsrung (0) zur \(-7\) gleich \(7\).
Wir haben also im Betrag auch eine Art von Längenberechnung.
Hattet ihr schon Vektorrechnung? Dort lernt man den Betrag von Vektoren kennen.
$$ \vert \vec{x} \vert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$
Dieser Betrag, sagt uns wie lang ein Vektor ist.
Diese beiden Beträge werden die euklidische Norm oder Standardnorm genannt.
Diese Norm beschreibt Längen wie wir es auch in der Realität machen würden.
Nun ist Länge, wie fast alles in der Mathematik, sehr allgemein formuliert. Die Norm wird als eine Abbildung mit bestimmten Eigenschaften definiert.
Durch diese Eigenschaften können wir nun eine Art mathematische Länge auch für Konstrukte definieren, die wir in unserer Realität als solche nicht messen können. Zum Beispiel kann man einen Vektorraum basteln mit Funktionen als Elementen. Diese Vektoren kann man sich jetzt nicht mehr als Pfeile im Raum vorstellen. Deshalb benötigen wir eine andere Längenberechnung (Norm).
Über die Zeit haben sich für bestimmte Situtation bestimmte Normen bewährt. Manche werden direkt aus Eigenschaften hergeleitet und sind deshalb die optimale Wahl.
Woher die Totalvariationsnorm genau hergeleitet wird, kann ich dir nicht sagen, aber sie ist auf jeden Fall eine bewährte Norm für Maße.
Variation beschreibt eine Schwankung von Werten, also wie stark die Schwankung von deinem Vektor \(\mu p^n \) zu der stationären Verteilung \( \pi \) ist. ─ christian_strack 03.11.2019 um 15:37
$$ \vert -7 \vert = 7 $$
Wenn wir uns nun den Zahlenstrahl angucken, Ist die Länge vom Urpsrung (0) zur \(-7\) gleich \(7\).
Wir haben also im Betrag auch eine Art von Längenberechnung.
Hattet ihr schon Vektorrechnung? Dort lernt man den Betrag von Vektoren kennen.
$$ \vert \vec{x} \vert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$
Dieser Betrag, sagt uns wie lang ein Vektor ist.
Diese beiden Beträge werden die euklidische Norm oder Standardnorm genannt.
Diese Norm beschreibt Längen wie wir es auch in der Realität machen würden.
Nun ist Länge, wie fast alles in der Mathematik, sehr allgemein formuliert. Die Norm wird als eine Abbildung mit bestimmten Eigenschaften definiert.
Durch diese Eigenschaften können wir nun eine Art mathematische Länge auch für Konstrukte definieren, die wir in unserer Realität als solche nicht messen können. Zum Beispiel kann man einen Vektorraum basteln mit Funktionen als Elementen. Diese Vektoren kann man sich jetzt nicht mehr als Pfeile im Raum vorstellen. Deshalb benötigen wir eine andere Längenberechnung (Norm).
Über die Zeit haben sich für bestimmte Situtation bestimmte Normen bewährt. Manche werden direkt aus Eigenschaften hergeleitet und sind deshalb die optimale Wahl.
Woher die Totalvariationsnorm genau hergeleitet wird, kann ich dir nicht sagen, aber sie ist auf jeden Fall eine bewährte Norm für Maße.
Variation beschreibt eine Schwankung von Werten, also wie stark die Schwankung von deinem Vektor \(\mu p^n \) zu der stationären Verteilung \( \pi \) ist. ─ christian_strack 03.11.2019 um 15:37
Ich habe meine Arbeit jetzt fertig geschreiben. Ich möchte mich sehr herzlich für deine Hilfe bedanken
─
jonas66
03.11.2019 um 18:51
Sehr gerne. Freut mich das ich helfen konnte :)
Grüße Christian ─ christian_strack 04.11.2019 um 12:23
Grüße Christian ─ christian_strack 04.11.2019 um 12:23