Hallo,
ich habe noch nicht allzu viel Erfahrung mit der Anwendung der Fouriertransformation, aber ich glaube dein Fehler ist der folgende.
Ich erhalte auch
$$ e^{-\vert 3t \vert} \to \frac 1 {\vert 3\vert} \frac 2 {1 + \frac {\omega^2} 9} $$
Nun führen wir eine Verschiebung durch
$$ x(t-t_0) \to X(\omega) e^{-i 2\pi \omega t_0} $$
Das bedeutet, mit
$$ e^{-\vert 3t - 2 \vert} = e^{-3\vert t - \frac 2 3 \vert} $$
das \( t_0 = \frac 2 3 \). Nun setzen wir das ganze ein und erhalten
$$ e^{-\vert 3 t - 2 \vert} = e^{-i 2 \pi \omega \frac 2 3 } \frac 1 {\vert 3\vert} \frac 2 {1 + \frac {\omega^2} 9} $$
Es fehlt also ein \( 2\pi \) bei dir im Exponenten.
Nun würde ich den anderen Faktor noch umformen zu
$$ 3e^{2i(3t-2)} = e^{6it} \cdot 3e^{-4i} = 3e^{-4i} \cdot e^{i 2 \pi \frac 3 {\pi} t} $$
Der erste ist ein Vorfaktor, den wir komplett übernehmen können, das zweite ist nun eine Verschiebung, mit \( f_T = \frac 3 {\pi} \), also erhalten wir
$$ e^{i 2 \pi \frac 3 {\pi} t} \cdot e^{-\vert 3 t - 2 \vert} = e^{-i 2 \pi (\omega- \frac 3 {\pi}) \frac 2 3 } \frac 1 {\vert 3\vert} \frac 2 {1 + \frac {(\omega - \frac 3 {\pi})^2} 9} $$
Den Vorfaktor \( 3e^{-4i} \) dürfen wir nun aufgrund der Linearität einfach übernehmen.
Was sagst du dazu?
Zur 5) hilft es vielleicht zuerst eine Partialbruchzerlegung durchzuführen. Was für Transformationen hast du für gebrochenrationale Funktionen gegeben? Nur die eine?
Grüße Christian
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Du hast sogar das richtige Ergebnis
$$ -4i - i \frac 2 3 (\omega -6) \\ = -4i - i \frac 2 3 \omega + \frac {12} 3 i \\ = -4i + 4i - i \frac 2 3 \omega \\ = - \frac 2 3 i \omega $$
Damit haben wir schon mal den gewollten Exponenten von \( e \).
Nun gucken wir uns noch den rechten Bruch an
$$ \frac 2 {1 + \frac {(\omega -6)^2} 9} \\ = \frac {18} {9 + (\omega -6)^2} \\ = \frac {18} {9 + \omega^2 - 12\omega + 36} \\ = \frac {18} {\omega^2 - 12 \omega + 45} $$
Ich denke auch mal noch etwas weiter über die 5) nach.
Grüße Christian ─ christian_strack 01.11.2019 um 15:33
Danke schonmal wegen dem Beispiel!
Ich hab bei 5 jetzt eine Partialbruchzerlegung anfangen wollen, jedoch kommt mir hier ja ein imaginär Teil heraus und in der Klammer sind zwei Rechenoperatoren in einer Klammer und ich kann somit den Partialbruch nicht fertig auflösen, also vielleicht geht das doch aber ich checks nicht ^^:
Ich nehme jetzt nur den Bruch her:
$$\frac{1}{t^2-4t+5}$$
Nun die Lösungsformel anwenden:
$$t_{1}=2+i & t_{2}=2-i$$
also hab ich
$$\frac{1}{(t-2-i)*(t-2+i)}$$
und nun weiß ich nicht wie ich weitermachen kann.
LG
Lukas
─ launga 01.11.2019 um 16:21
durch die Partialbruchzerlegung erhalten wir
$$ \frac 1 {2i(t-2-i)} - \frac 1 {2i(t-2+i)} $$
Aber mir fehlt gerade wieder ein, das ich nur auf die Partialbruchzerlegung kam, weil ich dachte du hast vielleiicht noch eine Transformation für Funktionen der Form
$$ f(t) = \frac 1 t $$
Ah ich glaube aber ich habe es.
Wir gehen aus von
$$ \frac 1 {1+t^2} $$
Dann verschieben wir die ganze Funktion
$$ t \to t-2 $$
und erhalten so die Funktion
$$ \frac 1 {1+ (t-2)^2} = \frac 1 {1 + t^2 -4t + 4} = \frac 1 {t^2 - 4t + 5} $$
Also hast du den Hinweis + eine Verschiebung.
So sollte es passen oder?
Grüße Christian ─ christian_strack 01.11.2019 um 17:03
danke für den Ansatz, so war es ein Kinderspiel ;)
Lg
Lukas ─ launga 02.11.2019 um 14:10
Grüße Christian ─ christian_strack 02.11.2019 um 14:19
Hallo Christian,
sorry für die späte Antwort, hatte gestern einen langen Arbeitstag.
Bezüglich dem \(2pi\), statt:
$$x(t-t_{0}) \Rightarrow X(w)e^{-i2piwt_{0}}$$
habe ich in meinen Rechenregeln stehen, für die Verschiebung im Zeitbereich:
$$x(t−t_{0})⇒X(w)e^{-iwt_{0}}$$
Ich habe nun nach der Verschiebung im Zeitbereich die Expo aufgespalten also zu:
$$e^{2i(3t−2)}→e^{6it}e^{−4i}$$ somit habe ich \(e^{-4i}\) aufgrund der Linearität einfach übernommen.
Für \(e^{6it}\) habe ich natürlich die Verschiebung im Frequnezbereich benutzt.
So als Endergebnis habe ich nun:
$$3*\frac{1}{|3|} e^{-4i-i\frac{2}{3}(w-6)}\frac{2}{1+(\frac{(w-6)^2}{9})}$$
Jedoch soll laut Angabenblatt das Ergebnis folgendes sein:
$$F(w)= \frac{18e^{-\frac{2}{3}iw}}{45-12w+w^2}$$
Zu Beispiel 5, ja der Hinweis ist nur der eine, der Rest sollte mit den oben genannten Rechenregeln funktionieren. Bzgl. Partialbruchzerlegung werd ich mir gleich nochmal ansehen.
Danke für deine Hilfe :)
Lg
Lukas
─ launga 01.11.2019 um 12:53