Anzahl injektiver und surjektiver Abbildungen

Aufrufe: 1984     Aktiv: 30.10.2019 um 18:59
0

Hallo, die Aufgabe ist:

Seien M und N endliche Mengen. Wieviele injektive Abbildungen gibt es von M nach N? Wieviele surjektive Abbildungen gibt es von M nach N, wenn N zwei, drei oder vier Elemente enthält? Haben Sie eine Idee für den allgemeinen Fall \(|N| = n \in \mathbb{N}\)?

 

Meine Frage ist:

Zur Injektivität: Hier habe ich heraus dass es genau soviele injektive Abbildungen geben kann, wie es Teilmengen von M gibt, also \(2^{|M|}\).

Zur Surjektivität: Hier bin ich leider etwas ratlos, zwar kann ich beim Spezialfall einfach alles angeben was es gibt, aber die Übertragung auf den allgemeinen Fall gelingt mir nicht.

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 80

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

Hallo,

die Injektivität kann nicht uneingeschränkt stimmen, denn für 

$$M=\{1,2\},N=\{a\}$$

gibt es überhaupt keine injektive Abbildung. Du musst den Fall 

$$|M|>|N|$$

also abdecken. 

Für 

$$M=\{1,2\},N=\{a,b\}$$

gibt es auch nicht 

$$2^{|M|}=2^2=4$$

Möglichkeiten, sondern nur zwei, oder? :)

Dann gib doch mal die Spezialfälle bei der Surjektivität an! Vielleicht ist da auch noch ein Fehler drin. :P 

Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 2.6K

 
Ich hab vergessen zu erwähnen dass ich bei dem Beweis angenommen habe dass \( |M| \leq |N| \) ist, das ist ja Voraussetzung damit eine Abbildung überhaupt injektiv sein kann.
Beim zweiten Beispiel fällt mir dann auch noch ein gravierender Denkfehler auf, ich habe nämlich auch angenommen dass ein Element auf nichts abbilden kann, was natürlich entgegen der Definition einer Abbildung ist. Vielen Dank erstmal, ich muss meinen Beweis dann wohl nochmal etwas überdenken.
   ─   ultor 30.10.2019 um 18:59

Kommentar schreiben