Hallo,
ich habe leider nicht viel Erfahrung mit der euklidischen Geometrie, aber meine Gedanken dazu sind folgende:
Zuerst zur b)
Ich denke der Knackpunkt ist hier, das unser Raum "Löcher" hat. Wenn ein Schnittpunkt ein Element aus \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) ist, existiert dieser nicht in unserem neuen Raum und somit schneidet die Gerade dann auch nicht zwangsläufig zwei Geraden eines Dreiecks.
Nehmen wir erstmal den euklidischen Raum. Dort gilt der Satz von Pasch. Dann nehmen wir eine Gerade, die nur eine Seite in einem Punkt \( p_1 = (x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) schneidet (die andere in einem Punkt \( p_2 \) aus \( \mathcal{E} \)).
Nun gehen wir über in unseren Raum \( \mathcal{E} \). Dort nehmen wir die gleiche Gerade, denn alle Geraden in \( \mathcal{E} \) sind Geraden aus \( \mathbb{E}^2 \) geschnitten mit \( \mathcal{E} \).
Diese Gerade schneidet immer unser Dreieck im Punkt \( p_2 \), aber nicht mehr im Punkt \( p_1 \), da dieser "herausgeschnitten" wurde.
Somit schneidet diese Gerade ein Dreieck nur an einer Seite und der Satz gilt nicht.
Zur a) Hier bin ich mir etwas unsicher bei der Gestaltung des Beweises. Aber ich würde hier denke ich ähnlich wie bei b) vorgehen (deshalb habe ich den anderen auch vorgezogen).
Wir befinden uns zuerst wieder in \(\mathbb{E}^2 \). Dort ist das Parallelaxion gegeben. Deshalb konstruieren wir hier zu jeder Geraden eine Parallele. Danach wählen wir einen Punkt \( p \) der auf der Parallelen liegt, jedoch später kein Loch wird, also \( p \notin \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \).
Wenn wir nun diese Gerade und diesen Punkt in unseren Raum \( \mathcal{E} \) bringen, bleibt unser Punkt erhalten und unsere Parallele bildet eine neue parallele in \( \mathcal{E} \) durch den Punkt \( p \).
Was meinst du zu diesen Beweisideen?
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
ich wünsche dir viel Erfolg in der Mündlichen. :)
Grüße Christian ─ christian_strack 31.10.2019 um 13:24
zu a) auch hier erscheint mir das logisch. und hier können wir ja "nur" einen Punkt wählen, der später kein Loch wird, da es sonst keine Aufgabe gäbe. Sei p ein Punkt aus der Punktmenge (also schon ohne Z), daher kann der Punkt gar nicht "verschwinden". Sei dann zB eine Gerade AB (mit den Punkten von vorhin). dann existiert eine Gerade AB (aber ohne die Punkte A und B) aber die gerade existiert. Dann gibt es immer einen punkt P welcher auf der Geraden g liegt, sodass g parallel zu AB.
so hatte ich das ja nicht argumentiert in der klausur. ich habe ja mehr oder weniger nur das Axiom wiederholt, aber ohne handfesten Beweis. Es ist immer gut ein exaktes Beispiel zu nehmen, das ist hier ja möglich.
Ein Prof. meinte mal zu mir: wenn Sie das mit einem exakten Beispiel widerlegen können, dann haben sie es doch schon bewiesen (Algebra: Zahlentheorie). So werde ich das auch handhaben. danke dir! mir reicht das definitiv zum verständnis und zum ran gehen an die aufgabe. ob der beweis mathematisch so korrekt ist, erfährst du am Mittwoch von mir, da ich in die mündliche muss :/ und ihn das definitiv fragen werde.
danke ─ labis.theodoros 31.10.2019 um 13:18