Hallo,

bedenke das für die Fakultät gilt

$$ n! \cdot (n+1) = (n+1)! $$

Nun wollen wir beide Brüche gleichnahmig machen. Wir erweitern den linken mit \( \frac 8 8 \) und den anderen mit \( \frac {n-7} {n-7} \) und erhalten:

$$ \frac 1 {(n-7)!7!} + \frac 1 {(n-8)!8!} \\ = \frac {1 \cdot 8} {(n-7)!7! \cdot 8} + \frac {1 \cdot (n-7)} {(n-8)! 8! \cdot (n-7)} \\ = \frac 8 {(n-7)!8!} + \frac {n-7} {(n-7)!8!} $$

Bei der letzten Umformung wurde ausgenutzt, das 

$$ 7! \cdot 8 = 8! $$

und 

$$ (n-8)! \cdot (n-7) = (n-7)! $$

Mach dir für die letzte Umforung klar, warum das gilt. \( n-7 \) ist eine natürliche Zahl und um \( 1 \) größer als \( n-8 \).

Grüße Christian