Leute zudem wollte ich fragen wie ich bei solchen komplexen gleichungen vorgehe? Ich weis zwar was z=a+bi ist und auch das konjugiert aber komme trotzdem bei solchen gleichungen nicht weiter

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gefragt vor 6 Monate, 3 Wochen
m
muhammet12,
Punkte: 10
 

Bitte leute brauche hilfe   -   muhammet12, vor 6 Monate, 3 Wochen
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1 Antwort
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Hallo,

es gilt 

$$ z = a+ib $$ und $$ \overline{z} = a-ib $$

Wenn wir das nun multiplizieren erhalten wir 

$$ z \overline{z} \\ = (a+ib)(a-ib) \\ = a^2 - (ib)^2 \\ = a^2 + b^2 $$

Nun berechne einmal 

$$ 2i\overline{z} = 2i(a-ib) $$

Jetzt musst du nur noch die Differenz bilden und den kompletten Term zusammenfassen. Dann vergleichst du den Realteil den du erhalten hast mit \(1\) und den Imaginärteil mit \(2\). 

Dadurch erhälst du ein Gleichungssystem das du lösen kannst. 

Zur zweiten. Wir haben schon berechnet, dass

$$ z \overline{z} = a^2 + b^2 $$

Also können wir die Gleichung aufstellen

$$ a^2 + b^2 = 4 $$

Da wir eine Schnittmenge haben, müssen beide Gleichungen gelten. Also berechne einmal 

$$ z^2 = -4 $$

und prüfe, welche dieser Lösungen auch die erste Gleichung erfüllt. 

Wenn noch etwas unklar ist, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 3 Wochen
christian_strack verified
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Ich kann dir nicht ganz folgen, also hab auf der linken Seite z mal z konjugierst ausmultipliziert und auch -2i mal (a-bi) und was nun?   -   momo1999, vor 6 Monate, 3 Wochen

Berechne nun
$$ z \overline{z} - 2i\overline{z} $$
Jetzt sortierst du deinen Term. Alle Summanden ohne \(i \) zusammen und alle mit.
Wenn du dann die Gleichung betrachtest, muss der Teil ohne \( i \) gleich \( 1 \) sein und der Teil mit \( i \) gleich 2.
  -   christian_strack, verified vor 6 Monate, 3 Wochen

Also für Summanden ohne i= a^2+b^2-2b und mit i= -2ai. Das ganze ist die linke Gleichung ?   -   momo1999, vor 6 Monate, 3 Wochen

Ich weis halt nicht wie ich die zusammenfassen soll, sind komische variable   -   momo1999, vor 6 Monate, 3 Wochen

Genau. Jetzt haben wir also die Gleichung
$$ (a^2 +b^2 - 2b) + (-2a)i = 1 + 2i $$
Daraus basteln wir uns zwei Gleichungen
$$ a^2 + b^2 -2b = 1 $$
und
$$ -2a = 2 $$
Ist dir klar warum ich diese Gleichungen aufstellen darf?
Löse am besten erst die zweite und setze dann die Lösung in die erste ein.
  -   christian_strack, verified vor 6 Monate, 3 Wochen

Ahh die a=-1 für die zweite Gleichung ist mein b und die 2 und 0 die ich für die erste Gleichung hab sind meine beiden a .... somit habe ich 2 Lösungen der komplexen Zahl der Form a+bi

-i und 2-i?
  -   momo1999, vor 6 Monate, 3 Wochen

Wie löse ich z^2+|z|=-2?   -   momo1999, vor 6 Monate, 3 Wochen

Ja genau aber du hast die Lösung vertauscht. Du erhälst \( a= -1 \) und \( b_1 = 0 ,\ b_2 = 2 \), also
$$ z_1 = -1 \\ z_2 = -1 + 2i $$

Der Betrag in den komplexen Zahlen ist definiert über
$$ \vert z \vert = \sqrt{z \overline{z} } = \sqrt{a^2 + b^2} $$
Für \( z^2 = (a+ib)^2 \) nutze die 1. binomische Formel.
  -   christian_strack, verified vor 6 Monate, 3 Wochen
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