Wie Beweise ich ?

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Gegeben ist V ein Vektorraum über dem Körper K und v1, ... , vn,w sind Element aus V 

zu Zeigen ist wenn v1,...,vn linear unabhängig sind und v1,...,vn,w linear abhängig, so lässt sich w als Linearkombination der Vektoren v1,...,vn schreiben 

Info: erwarte keine 1:1 Anleitung 

hab bis jetzt nur das daraus folgt das w ungleich 0 ist aber glaube das das der falsche Ansatz ist.

 

gefragt vor 6 Monate, 3 Wochen
h
hannes4409,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Dass \(w\ne 0\) folgt, stimmt nicht.

Da \(v_1,v_2,\ldots,v_n,w\) linear abhängig sind, gibt es \(a_1,a_2,\ldots,a_n,b\) nicht alle Null mit

\((*)\) \(a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n+bw=0\).

Wäre \(b=0\) hätte man \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) nicht alle Null mit \(a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n=0\) im Widerspruch zu \(v_1,v_2,\ldots,v_n\) linear unabhängig, also ist \(b\ne 0\). Dann ist wegen \((*)\)

\(w = \frac{-a_1}{b}v_1 + \frac{-a_2}{b}v_2 + \cdots \frac{-a_n}{b}v_n \) 

[Beachte, dass die \(a_i\) alle Null sein können, dann ist \(w=0\)]

geantwortet vor 6 Monate, 3 Wochen
w
wrglprmft
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 850
 
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