Gewinnmaximierungsproblem mit Lagrange bzw. Eliminierungsverfahren


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Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Das Gewinnmaximierungsproblem ist gegeben durch:

Max 8x +32√y
u.d.N. x + y
≤ 12

 

Stellen Sie die Lagrangefunktion auf. Ermitteln Sie die ersten partiellen Ableitungen.

Berechnen Sie den kritischen Punkt. Wie hoch ist der Gewinn für x bzw. y.

 

Meine Lagrangefunktion lautet:

L (x,y,λ) = 8x + 32√y + λ ( x + y - 12) = 8x + 32√y + λx + λy - 12λ

 

Meine partiellen Abeitungen:

L'x (x,y,λ) = 8 + λ

L'y (x,y,λ) = 16y^-1/2 + λ

L'λ (x,y,λ) = x + y - 12

 

Der kritische Punkt liegt in der weiteren Rechnung bei 4.

G(x) ergibt 64.

G(y) ergibt 64.

 

Liege ich damit richtig?

 

Zum Schluss wird die Aufgabe umgewandelt und lautet

Max 8 x +32 y
u.d.N. x + y
≤ 12

Ich ging davon aus, dass es ohen Wurzel wesentlich leichter zu rechnen sein müsste, aber ich komme auf kein Ergebnis. Mit dem Eliminierungsverfahren erhalte ich ein negatives Ergebnis und mit Lagrange  bleibt keine Variable mehr übrig, das Ergebnis lautet dann -24 ≠ 0.

 

Es wäre klasse, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Ich verzweifel seit Tagen an dieser Aufgabe und komme nicht weiter.

 

 

gefragt vor 3 Wochen, 4 Tage
c
christina,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

ich erhalte \( \lambda = -8 \), \(y = 4 \) und \( x = 8 \).

Damit ergibt sich die Gewinnfunktion zu 

$$ G(8,4) = 8 \cdot 8 + 32\sqrt{4} = 64 + 32 \cdot 2 = 128 $$

Zum zweiten Teil:

Ich habe es nachgerechnet und es stimmt. \( -24 = 0 \) bedeutet, dass es keine optimale Lösung unter diesen Nebenbedingungen gibt.

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Wochen, 3 Tage
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.27K
 

Ok. Ich habe ebenfalls y=4 und x=8 und in Summe ergibt es auch bei mir 128.

Danke für den Hinweis zum zweiten Teil!

Danke für dein Feedback!
  -   christina, kommentiert vor 3 Wochen, 3 Tage

Wunderbar :)
sehr gerne.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 3 Wochen, 3 Tage
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