Hallo,
wir wollen die Funktion
$$ y = - \frac 1 2 x^2 -2x +1 $$
in Scheitelpunktform bringen. Die allgmeine Form der Scheitelpunktform lautet
$$ y= a(x-d)^2 +e $$
Um den Faktor \( (x-d)^2 \) zu erzeugen, müssen wir die quadratische Ergänzung durchführen. Klammern wir den Ausdruck einmal mit der zweiten binomischen Formel aus um zu sehen was wir brauchen
$$ (x-d)^2 = x^2 - 2xd + d^2 $$
Das vergleichen wir nun mit deiner Funktion. Wir haben vor dem \( x^2 \) einen Vorfaktor. Diesen müssen wir zuerst ausklammern.
$$ -\frac 1 2 x^2 - 2x + 1 = -\frac 12 (x^2 + 4x - 2) $$
Nun vergleichen wir den Ausdruck \( (x^2 + 4x -2 ) \) mit \( (x^2 -2xd + d^2) \).
Das \( x^2 \) ist schon mal gleich. Also vergleichen wir die zweiten Summanden
$$ 4x = -2xd \\ 4 = -2d \\ -2 = d $$
Damit der zweite Summand übereinstimmt, muss \( d=-2 \) gelten. Setzen wir dies mal in die zweite binomische Formel ein.
$$ (x-d)^2 = (x-(-2))^2 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 $$
Nun passen die ersten beiden Summanden. Nur noch der Dritte muss angepasst werden. Dafür addieren wir eine Null.
$$ x^2 + 4x -2 + 0 = x^2 + 4x -2 + (4-4) = x^2 + 4x + 4 - 6$$
Nun können wir auf die ersten 3 Summanden die binomische Formel anwenden und erhalten
$$ x^2 + 4x + 4 - 6 = (x-(-2))^2 - 6 $$
Nun holen wir uns den ausgeklammerten Vorfaktor zurück
$$ y= - \frac 1 2 (x^2 + 4x - 2) = -\frac 1 2 ((x-(-2))^2 - 6) = -\frac 1 2 (x-(-2))^2 + 3 $$
Und damit haben wir unsere Funktion in Scheitelpunktform gebracht.
Dadurch können wir sofort den Scheitelpunkt ablesen. Dieser lautet:
$$ S(-2|3) $$
Wenn noch etwas unklar ist melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.79K