Unendliche Lösungsmenge eines LGS angeben

Aufrufe: 1038     Aktiv: 26.11.2019 um 18:10
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Guten Tag,

das folgende Gleichungssystem sollte gelöst werden

\(x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 0\) 
\(x_{1} + x_{3} + x_{5} = 0\) 
\(2x_{1} +3 x_{2} + 4x_{3} +5 x_{4} +6 x_{5} = 0\) 
\(2x_{2} + 2x_{3} + 4x_{4} + 4x_{5} = 0\) 

In Kurzform und nach dem Gauß-Algorithmus kam ich auf folgende Lösung:

1 1 1 1 1   0
0 1 0 1 0   0
0 0 1 1 2   0
0 0 1 1 2   0

Durch Subtrahieren der vierten Zeile mit der dritten ergibt sich ja 0 = 0, welches auf eine unendliche Lösung des LGS hindeutet.

Nun haben wir in der Vorlesung die Darstellungsform, welche wichtig in der analytischen Geometrie ist besprochen, und somit komme ich folglich auf die Lösungsmenge:

L = {2u ; -u ; -t-2u ; u ; t}

u und t sind beliebige Zahlen zum Einsetzen.

Nun zur Frage: Lässt sich die Lösungsmenge so angeben? Oder darf sie nur von einer beliebigen Zahl abhängen?

LG
Niklas

 

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An sich dürfen Lösungsmengen auch von mehreren Parametern abhängen. Z.B also von u,t ∈ R (R sind die reellen Zahlen).

So wie du die Menge aufgeschrieben hast ist es aber nicht ganz richtig.

Eine Lösung des LGS besteht aus 5 Zahlen, die man normalerweise als Tupel schreibt, z.b. (0,0,0,0,0). Die Menge aller Tupel die das LGS lösen ist die Lösungsmenge:

L={(2u,-u,-t-2u,u,t) | u,t ∈ R}

Man liest das als:

"L ist die Menge der 5-Tupel 2u, -u, -t-2u, -u, t für die gilt, dass u und t aus den reellen Zahlen sind."

Auch üblich wäre die Vektorschreibweise wie hier dargestellt. https://www.massmatics.de/merkzettel/#!337:Loesung_eines_Linearen_Gleichungssystems

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