ALLE Summenformeln durch vollständige Induktion beweisen


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1. Einführung

In meinem Video zum Beweis von Summenformeln stelle ich einen einfach Algorithmus vor, mit dessen Hilfe man quasi jede Summenformel durch vollständige Induktion beweisen kann. Dabei rechnen wir 3 Beispiele komplett durch und trainieren in 5 weiteren Beispielen den Schritt, der bei den meisten Studenten in Übungsblättern und Klausuren für Verwirrung sorgt.

2. Der Algorithmus

Eingabe: Summenformel, die durch vollständige Induktion bewiesen werden soll: $$\sum\limits_{k=k_0}^{n}{f(k)} = g(n)$$ Ausgabe: Beweis der eingegebenen Summenformel durch vollständige Induktion.

1. Teste, ob die Aussage \(\mathcal{A}(n)\) für den Startwert \(n=n_0\) wahr ist, indem du \(n_0\) in beide Seiten der Gleichung $$\sum\limits_{k=k_0}^{n}{f(k)} = g(n)$$ einsetzt und prüfst, ob \(\sum_{k=k_0}^{n_0}{f(k)}\) und \(n_0\) gleich sind. Sind beide Seiten ungleich (\(\mathcal{A}(n_0)\) ist also keine wahre Aussage), so bist du an dieser Stelle bereits fertig und die Behauptung \(\forall n\in\mathbb{N}_{\geq n_0}: \sum_{k=k_0}^{n}{f(k)}=g(n)\) ist falsch.

2. Formuliere die Induktionsvoraussetzung: $$\exists n\in\mathbb{N}_{\geq n_0}:\sum_{k=k_0}^{n}{f(k)}=g(n)$$ (bzw. \(\exists n\in\mathbb{N}_0:\sum_{k=k_0}^{n}{f(k)}=g(n)\)).

3. Formuliere die Induktionsbehauptung. Es ist zu zeigen: $$\sum_{k=k_0}^{n}{f(k)}=g(n) \Longrightarrow\sum_{k=k_0}^{n+1}{f(k)}=g(n+1)$$

4. Beweise die Induktionsbehauptung, indem du

4.1 zuerst \(\sum_{k=k_0}^{n+1}{f(k)} \) mit mit Summenplit \((\left(\sum_{k=k_0}^{n}{f(k)}\right)+f(n+1)\) aufspaltest.

4.2 Verwende als Nächstes die Induktionsbehauptung, um \(\sum_{k=k_0}^{n}{f(k)}\) durch \(g(n)\) zu ersetzen. Forme den entstandenen Ausdruck \(g(n)+f(n+1)\) algebraisch so lange um, bis du \(g(n+1)\) erhältst.

 

 

 

Mathe Artikel, geschrieben vor 3 Wochen, 4 Tage
letsrockinformatik, verified
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