Konvergenz zeigen bei Spezialfällen (Summen und Produkten)

Aufrufe: 1311     Aktiv: 24.11.2019 um 16:48
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Ich kenne die folgende Summenschreibweise: \(  \sum_{n=0}^{n} \) 

Doch was habe ich mir darunter vorzustellen: \(  \sum_{n=0}^{2n} \)

n als Element der natürlichen Zahlen.

Warum reicht nicht einfach, wenn ich n schreibe? Die natürlichen Zahlen sind doch nicht beschränkt nach oben. Warum muss ich das verdoppeln?

VG, Adrian

P.S.

Ergänzung 24.11.19

OK - vor dem "=" muss das immer "1/k" heißen.

 

Doch nun: 
Wie beweise ich da jetzt Konvergenz?

 

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Aus irgendwelchen Gründen scheine ich Kommentare nicht lesen zu können.   ─   adrian142 23.11.2019 um 12:10
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Hallo,

kann man die Summe nicht einfach durch \(1\) abschätzen? Du schätzt jeden Summanden gegen den größten Summanden ab, nennen wir den mal einfach \(\frac{1}{n^*}\). In jedem Schritt kommt ein neuer Summand dazu und dein \(n^*\) wird um \(1\) größer, richtig? Das heißt im "nullten" Schritt hast du:

$$0 \cdot 1$$

im eigentlich ersten Schritt

$$1 \cdot \frac{1}{2},$$

im zweiten Schritt

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\leq\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=2\cdot\frac{1}{3}$$

und im \(n-1\)-ten Schritt:

$$\frac{1}{n}+\dots+\frac{1}{2n-2}\leq\frac{1}{n}+\dots+\frac{1}{n}=(n-1)\cdot\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}.$$

Somit hast du eine konvergente Majorante gefunden, die gegen \(1\) konvergiert! :)

Noch mal den \(n\)-ten Schritt ergänzt:

$$\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{2n}\leq\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{n+1}=n\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$$

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Ich hänge leider schon an dem Einstieg, der mir nicht gelingt.
Die komische Summe, die einen Startwert hat von k=n+1 und dann bis 2 n läuft.
Das bekomme ich nicht auf Deine Erklärung abgebildet.
   ─   adrian142 24.11.2019 um 11:15
Sehe ich nicht so. Erstmal ist die 0 nicht in |N in diesem Kurs und dann habe ich im n-ten Schritt: \( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2n} \). Dann kriege ich mit Deinem Vorgehen: \( \frac{2n-1}{2} \). Das ist doch nicht konvergent...   ─   stehgold 24.11.2019 um 11:15
@stehgold Warum? Du fängst doch später als bei \(\frac{1}{2}\) an, wenn du ein \(n\) hast? :)   ─   endlich verständlich 24.11.2019 um 11:16
Von n+1 bis 2n geht die Summe. Also fange ich bei 2 an und gehe bis 2n.   ─   stehgold 24.11.2019 um 11:18
@adrian142 Okay ich habe noch einen Indexshift gemacht. Also müsstest du bei mir schreiben im \(n-1\)ten Schritt. Ich tausche das mal aus! :)   ─   endlich verständlich 24.11.2019 um 11:18
Seid ihr so mit mir zufriedener? ;)   ─   endlich verständlich 24.11.2019 um 11:21
Was bedeutet, dass Du einen Indexshift gemacht hast?
Und wo ist der große Unterschied, wenn ich die 0 jetzt drin habe oder draußen lasse?   ─   adrian142 24.11.2019 um 11:22
Naja ich hab einfach das \(n\) um \(1\) verschoben, also statt \(a_2\), habe ich \(a_3\) aufgeschrieben und so weiter. Hab das aber korrigiert, um keinen zu verwirren! :)
Da ist kein großer Unterschied bzgl. der Konvergenz. Unter Umständen machen Aussagen keinen Sinn mehr, wenn man die \(0\) noch hinzufügt.   ─   endlich verständlich 24.11.2019 um 11:24
@stehgold Hä? Du fängst für \(n=1\) bei \(2\) an. Für \(n=34573\) fängst du doch bei \(34574\) an und nicht bei \(2\) oder?   ─   endlich verständlich 24.11.2019 um 11:26
So sehe ich das auch. Die "untere Grenze" der Summe wandert doch mit (k=n+1). D.h. man fängt bei 34574 an.   ─   adrian142 24.11.2019 um 11:28
@adrian142 ist es dir jetzt eigentlich klar, wie ich das abschätze? :)   ─   endlich verständlich 24.11.2019 um 11:29
@endlich verständlich: Ich weiß nicht, worauf Du Dich mit a2 und a3 usw. beziehst.
Und mit dem Abschätzen habe ich auch so meine Probleme.   ─   adrian142 24.11.2019 um 11:30
Das ist dann wohl die Reihe für n=2 und n=3. OK, das mit der "mitwandernden" Untergrenze habe ich nicht gesehen. Ist der Grenzwert dann 1? \( \frac{1}{n+1}+\cdots +\frac{1}{2n}   ─   stehgold 24.11.2019 um 11:45
@adrian 142 Ignoriere das mit dem Indexshilft und dem \(a_2\) und so weiter einfach, das ist wurscht! :)
Wichtig ist, dass du jeden Summanden durch den größten Summanden abschätzt, die Summe aber trotzdem in jedem Schritt kleiner ist als \(1\) und deine Folge \(a_n\) somit durch \(1\) beschränkt wird.
@stehgold Der Grenzwert ist \(\ln(2)\), also echt kleiner als \(1\)! :)   ─   endlich verständlich 24.11.2019 um 11:49
OK. Danke!   ─   adrian142 24.11.2019 um 11:50

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Hallo,

\( n \) ist erstmal irgendeine natürliche Zahl. Je nachdem welchen Kontext du hast, steht dieses \( n \) bereits für eine Zahl. Wenn wir eine Reihe dann bis zum doppelten dieses Wertes laufen lassen wollen, dann müssen wir eben \( 2n \) schreiben.

In deiner Aufgabenstellung ist dies ja auch der Fall

$$ \sum\limits_{k=n+1}^{2n} $$

Diese Reihe fängt bei \( n+1 \) an und geht bis \( 2n \). Die Konvergenz sollst du nun für alle \( n \) zeigen. 

Ansonsten rechne vielleicht erstmal ein paar Beispiel mit verschiedenen \( n \) durch, um ein Gefühl dafür zu bekommen. 

Grüße Christian

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Hallo, an der hänge ich auch gerade. Wie zeige ich das denn? Mir ist gar nicht klar ob die überhaupt konvergiert. Ist doch eine Summe, da wird doch ständig etwas dazu addiert. Die Vorzeichen wechseln auch nicht bei den Gliedern. Wäre das jetzt \( \frac{1}{2n} \) dann OK. Das hatte doch irgendein oller Grieche für die Unendlichkeit verwendet. Bei jedem Schritt die Hälfte des restlichen Weges gehen....   ─   stehgold 23.11.2019 um 16:34
Du meinst \(\frac{1}{2^n}\) glaube ich. Die Reihe \(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\) divergiert auch, aber der Witz ist, dass bei dir die untere Grenze mitwächst! :) Hast du ein paar \(n\) probiert? :)   ─   endlich verständlich 23.11.2019 um 18:35
@endlich verständlich: Ja, habe ein paar n probiert. Noch interessanter scheint das Produkt zu sein (Teil 2 der Aufgabe). Siehe meine Ergänzungen dazu oben im Text.   ─   adrian142 24.11.2019 um 08:20
Insofern sind das Summen- bzw. Produkt-Spezialfälle...
Wie ich jetzt Konvergenz zeige, ist mir noch nicht wirklich klar….   ─   adrian142 24.11.2019 um 08:27

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Hallo,

dein Produkt wird immer kleiner in jedem Schritt, aber nie kleiner als \(0\). Dürfte das nicht schon für Konvergenz reichen? :)

Stichwort: Monoton und beschränkt \(\Rightarrow\) konvergent.

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Das liest sich jetzt relativ einfach. Wenn ich nur auf den Term schaue, ist das irgendwie auch klar. Das Produktsymbol hat mich irgendwie irritiert. Ich versuch das einfach mal als Lösung so stehen zu lassen. für das Produkt.   ─   adrian142 24.11.2019 um 11:17

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Ich glaube, ich bin jetzt auf dem rechten Weg.

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