Verknüpfungstafel erstellen


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Hey,

wir haben die Aufgabe, dass wir eine Verknüpfungstafel zur Gruppe G={e,x,y}, wobei e das Neutralelement ist, erstellen sollen. Die Gruppenstuktur soll natürlich erhalten bleiben.

In diesem Fall gibt es wohl nur eine mögliche Verknüpfungstafel mit 

x * x = y

y * y = x

x * y = e = y * x

Meine Frage ist nun, warum es nicht die Verknüpfungen x * x = e bzw. y * y = e geben kann, also warum muss y das Inverse zu x (und x das Inverse zu y sein)?

Es würde wohl einen Widerspruch zu der Regel "Inverse und Kürzbarkeit" geben - weiß vielleicht jemand, wo genau der Widerspruch ist? 

 

gefragt vor 1 Monat, 3 Wochen
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lasse.k,
Student, Punkte: 95
 
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1 Antwort
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Hallo,

in einer Gruppe sind das neutrale Element und das Inverse eindeutig. Aus der Gleichung 

$$x\cdot x=x$$

würde aber hervorgehen, dass \(x\) das neutrale Element ist, was im Widerspruch dazu steht, dass \(e\) das neutrale Element ist. Was theoretisch erstmal möglich wäre, ist, dass 

$$x\cdot x=e$$

gilt, was in einer zweielementigen Gruppe auch der Fall ist. Dann dürfte aber, wegen der Eindeutigkeit des Inversen, nicht

$$x\cdot y=e$$

gelten. Das bedeutet, es gilt:

$$x\cdot y=x\quad\text{oder}\quad x\cdot y=y.$$

Im ersten Fall wäre aber \(y\) ein neutrales Element und im zweiten Fall wäre \(x\) ein neutrales Element, was ein Widerspruch dazu ist, dass \(e\) das neutrale Element ist. Da also weder \(x\cdot x=x\) noch \(x\cdot x=e\) gelten kann, muss:

$$x\cdot x=y$$

gelten.

Analog folgt \(y\cdot y=x\). Für \(x\cdot y\) und \(y\cdot x\) kann natürlich nur das neutrale Element \(e\) herauskommen, was wir eben schon gesehen haben. Das heißt jede dreielementige Gruppe ist abelsch und isomorph zu \((\mathbb{Z}_3,+)\). 

Alles klar? :)

geantwortet vor 1 Monat, 3 Wochen
endlich verständlich, verified
Student, Punkte: 2.58K
 

Vielen Dank! :)
Ich merke gerade, dass ich fragen wollte, warum es die Fälle x*x=e / y*y=e nicht geben kann. Aber danke, dass du das direkt mit erklärt hast :)
  -   lasse.k, kommentiert vor 1 Monat, 3 Wochen
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