Näherungswert für \(\ln(3)\) mithilfe des Taylorpolynoms bestimmen

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Aufgabe
Bestimmen Sie einen Näherungswert für \(\ln 3\), indem Sie die Funktion \(f: D \to \mathbb{R}, D \subseteq \mathbb{R} \operatorname{mit} f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}\) an der Stelle \(x^{*}=0 \) in ein Taylorpolynom 4. Grades entwickeln und schätzen Sie den Fehler mithilfe des Restgliedes ab.

Ansatz
Ich habe die ersten 4 Ableitungen gebildet und dann in das Taylorpolynom $$T_{a, n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a) \cdot (x-a)^{k}}{k !}$$ eingesetzt: 

$$T_{0, 4}(x)= \frac{f^{(0)}(0) \cdot (x-0)^{0}}{0 !}+\frac{f^{(1)}(0) \cdot (x-0)^{1}}{1!}+\frac{f^{(2)}(0) \cdot (x-0)^{2}}{2!}+\frac{f^{(3)}(0) \cdot (x-0)^{3}}{3 !}+\frac{f^{(4)}(0) \cdot (x-0)^{4}}{4 !}$$
$$T_{0, 4}(x)= \frac{\ln(1) \cdot 1}{1}+\frac{2\cdot x}{1}+\frac{0 \cdot x^2}{2}+\frac{4 \cdot x^3}{6}+\frac{0\cdot x^4}{24}$$
$$T_{0,4}(x)=0+2x+0+\frac{2}{3}x^3+0$$

\(R_n(x)\) ist \(\ln\frac{1+x}{1-x}-(2x+\frac{2}{3}x^3)\)
Nun soll ich aber noch den Fehler mithilfe des Restgliedes abschätzen. Das hatten wir folgendermaßen definiert:

Sei \(D \subseteq \mathbb{R}\), und sei \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) eine Funktion, die an der Stelle \(x^{\star} \in D\) mindestens \(n\)-mal differenzierbar ist. Der "Fehler" $$R_{n}(x)=f(x)-T_{n}\left(x^{\star} ; x\right)$$ heißt Restglied.


Sei \(D \subseteq \mathbb{R}\) und sei \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) eine \((n+1)\)-mal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt:$$\lvert R_{n}(x)\rvert=\lvert f(x)-T_{n}\left(x^{\star} ,x\right)\rvert \leq \frac{M}{(n+1) !}\lvert x-x^{\star}\rvert^{n+1}$$ wobei \(M\) so gewählt ist, dass \(\lvert f^{(n+1)}(x)\rvert \leq M\) für alle \(x \in D\).

Leider komme ich mit der Abschätzung nicht zurecht, d.h. ich bräuchte Hilfe dabei. Woher weiß ich denn, wie ich den Fehler abschätzen kann? (und wie sieht dann mein Taylorpolynom aus?)

 

gefragt vor 8 Monate, 1 Woche
d
doesbaddel2,
Student, Punkte: 50

 
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1 Antwort
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Hallo,

ich bin mir hier leider auch nicht 100% sicher, aber die 5te Ableitung ist eine unbeschränkte Funktion. Deshalb kann man diese hier auch nicht abschätzen. Da du \( \ln(3) \) berechnen willst, würde ich den Feher auch darauf anpassen, also

$$ \begin{array}{cccc} & \frac {1+x} {1-x} & = & 3 \\ \Rightarrow & 1+x & = & 3 - 3x \\ \Rightarrow & 4x & = & 2 \\ \Rightarrow & x & = & \frac 1 2 \end{array} $$

Das kannst du nun in deine Ableitung einsetzen, und

$$ \frac {f^{(5)}(\frac 1 2)} {5!} \vert x \vert ^{n+1} $$

ausrechnen um deinen Fehler zu erhalten für die Berechnung von \( \ln(3) \).

Grüße Christian

geantwortet vor 8 Monate, 1 Woche
christian_strack verified
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