Hallo,

mit \( \Delta \) meinst du denke ich die Diskriminante?

Wenn diese negativ ist, erhälst du eine komplexe Lösung.

Nennen wir die komplexe Lösung mal

$$ a \pm bi $$

Dies können wir entweder wie gehabt mit Hilfe der Exponentialgleichung darstellen.

$$ y(x) = C_1 e^{a + bi} + C_2 e^{a-bi } $$

oder wir können die trigonmetrischen Funktionen Sinus und Kosinus nutzen, um daraus eine reelle Lösung zu basteln

$$ y(x) = e^{ax} (C_1 \sin(bx) + C_2 \cos(bx)) $$

Grüße Christian

Hi Christian, 

in meinem Bachelor Maschinenbau werde ich mit der komplexen Lösung der Differenzialgleichung auch konfrontiert. Wie man auf die Form 

y(x)=eax(C1sin(bx)+C2cos(bx))

kommt und C1 und C2 mit hilfe von Randwerten bestimmt ist alles kein Problem. 

Nur wird in der Aufgabe immer zusätzlich nach dem Kurvenverlauf gefragt. 

Wenn C1 oder C2 = 0 ist, ist das kein Problem, da dann entweder Sinus oder Cosinus übrig bleibt und ich somit die Kurve zeichnen kann. 

Wenn C1 = C2 = 1 ist, ist das auch kein Problem, da man mit 1 = tan (pi/2) = sin(pi/2)/cos(pi/2) und 

mit Additionstheoremen dann trotzdem auf Sinus oder Cosinus alleinstehend kommt. 

Was aber ist Wenn C1 z.B = 2 und C2 = 3 ist ? Ich weiß nicht, wie ich daraus den Kurvenverlauf skizzieren soll. 

Wäre das nicht eine Überlagerung von 2 Schwinungen, die ich wieder zusätzlich ausrechnen müsste ? Das scheint mir aber viel zu zeitintensiv zu sein. Auch mit cos(x) = sin (x + pi/2) komme ich nicht weiter

Kannst du mir bitte am Beispiel  y(x)=e
-x(2sin(x)+ 3cos(x)) den Lösungsweg zeigen ? 

Mit freundlichen Grüßen, 

Max

@maximo

hier noch einmal die Berechnung der neuen Schwingung

$$ f(x) = 2 \sin(x) +  3 \cos(x) =  2 \sin(x) + 3 \sin(x- \frac {\pi} 2) $$

Damit gilt \( a_1 = 2 \) und \( a_2 = 3\). Außerdem gilt \( \varphi_1 = 0 \) und \( \varphi_2 = - \frac {\pi} 2 \). Also

$$ A= \sqrt{2^2 + 3^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos( \frac {\pi} 2)} \approx 3,606 $$

und

$$ \tan(\varphi) = \frac {2 \sin(0) + 3 \sin(- \frac {\pi} 2)} {2 \cos(0) + 3 \cos(-\frac {\pi}2)} = - \frac 3 2 \\ \varphi \approx -0,983 $$

Damit erhalten wir die Überlagerung

$$ f(x) = 3,606 \sin(x -0,983) $$

Wenn wir nun aber noch den Vorfaktor \( e^{-x} \) dazu packen sieht die Funktion schon ganz anders aus

Das könnte ich persöhnlich nicht zeichnen muss ich sagen. 

Grüße Christian

Hi, 

vielen Dank fürr deine Erklärung. Hat mir definitv weitergeholfen. Meine Beispielwerte waren nur ausgedacht und nicht auf eine bestimmte Aufgabe bezogen. 

Super, vielen Dank !