Problem bei Komposition von 2 Funktionen mit Bruch


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Hi,

habe die Komposition verstanden, allerdings werfen mich diese Funktionen aus der Bahn:

\( g(x) = \frac{1+x}{1-x} \)

\( h(x) = \frac{1}{1+x} \)

Die Kompositionen sind

\( g(h(x)) = \frac{x+2}{x} \)

und

\( h(g(x)) = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \)

Ich verstehe aber nicht wie man das ausrechnet / Brueche in Brueche einsetzt. Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank im Voraus!

 

gefragt vor 1 Woche
a
analysis,
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1 Antwort
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\(f(g(x))\) bedeutet nichts anderes, als dass du für die 'x' in f die Funktion \(g(x)\) einsetzt.

\(\color{blue}{g(x) = \dfrac{1+x}{1-x}}\\
\color{brown}{h(x) = \dfrac{1}{1+x}}\)

Hier wäre \(g(h(x)) = \color{blue}{\dfrac{1+x}{1-x}}\), wobei du noch beide x durch \(\color{brown}{h(x) = \dfrac{1}{1+x}}\) ersetzt, sprich \(\dfrac{\color{blue}{1}+\color{brown}{\frac{1}{1+x}}}{\color{blue}{1}-\color{brown}{\frac{1}{1+x}}} =\dfrac{x+2}{x} = 1+ \dfrac{2}{x}\) 

\(h(g(x))\) analog, \(\color{brown}{\dfrac{1}{1+x}} \longrightarrow \color{blue}{\dfrac{1}{1+ \color{brown}{\frac{1+x}{1-x}}}}\)

geantwortet vor 6 Tage, 23 Stunden
m
maccheroni_konstante, verified
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Danke, ich verstehe aber leider nicht wie die eingesetzten Brueche "eliminiert" werden. Da fehlt irgendwas. Wieso auf einmal x+2?   -   analysis, kommentiert vor 6 Tage, 18 Stunden

Den Zähler auf einen gemeinsamen Nenner bringen: \(1+\dfrac{1}{1+x} = \dfrac{x+1}{x+1} + \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{x+1 + 1}{x+1} = \dfrac{x+2}{x+1}\)

Gleiches für den Nenner: \(1-\dfrac{1}{1+x} = \dfrac{x+1}{x+1} - \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{x+1 - 1}{x+1} = \dfrac{x}{x+1}\)

Nun gilt: \(\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \dfrac{ad}{bc}\), somit ergibt sich \(\dfrac{(x+2)\cdot (x+1)}{(x+1) \cdot x}\), wobei man mit \((x+1)\) kürzen kann und man erhält \(\dfrac{(x+2)}{x}\).
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 6 Tage, 1 Stunde

Super, vielen Dank!!   -   analysis, kommentiert vor 3 Tage, 3 Stunden
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