Koeffizient - Binomischen Lehrsatz


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Liebe Alle!

 

Ich hänge bei einer Aufgabe die sich mit dem Koeffizient des binomischen Lehrsatz beschäftigt. 

Konnte leider auch durch Youtube-Videos und anderen Erklärungen nicht auf die korrekte Lösung kommen - hoffentlich könnt ihr mir das erklären!

Die Aufgabe lautet wie folgt: Wie lautet der Koeffizient von x^4y^2 in den Entwicklungen nach dem Binomischen Lehrsatz von 2x^3-3y^4:

Meine Lösung lautet: (4 über 2) 4x*(2x^4-3y^2)^4 -> Ergo der Koeffizient müsste doch 4 und nicht wie laut Skript-Lösung 216 sein?

Danke für eure Hilfe!

LG

 

gefragt vor 2 Wochen, 1 Tag
t
thereds,
Student, Punkte: 10
 

Hallo,

du sollst den binomischen Lehrsatz auf
$$ 2x^3 - 3y^4 $$
anwenden? Den binomischen Lehrsatz, wendet man auf Binome der Form
$$ (x+y)^n $$
an. Das ist bei dir nicht gegeben. Man nutzt den Lehrsatz um so ein Binom auszuklammern. \( 2x^3 -3y^4 \) kann man ja nicht ausklammern.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Wochen

Ja aber ich kann diese Form doch wieder mit einem Summensymbol ausdrücken? So wurde uns das zumindest beigebracht. Hier ein Auszug aus dem Skript: (x + y^)n = 􏰉 Summensymbol, K= 0 ; n : x^(n−k) * y^k

Wenn ich das dann mit dieser Aufgabe d.) mache, komme ich zu: (4 über 2) 4x*(2x^4-3y^2)^4 // und hier muss der Koeffizient 96 herauskommen... aber ich verstehe eben nicht wie?
  -   thereds, kommentiert vor 2 Wochen

Ja den binomischen Lehrsatz kenne ich. Aber wie gesagt wird der genutzt um Binome zu einer gegebenen Potenz auszuklammern. Zum Beispiel erhalten wir mit \( n=2 \) die binomischen Formeln
$$ (x+y)^2 = \sum_{k=0}^2 \binom{2}{k} x^{2-k} y^k = \binom{2}{0} x^2 y^0 + \binom{2}{1} x^{2-1} y^1 + \binom{2}{2} x^{2-2} y^2 = x^2 + 2xy + y^2 $$
Das können wir auch mit einem Binom der Form \( (ax^u+by^v)^n \) machen.
$$ (ax^u+by^v)^n = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} (ax^u)^{n-k} (by^v)^k $$
Aber in deinem Fall ist \( n= 1 \) und wir erhalten einfach
$$ (ax^u +by^v)^1 = ax^u +by^v $$
Ich hoffe du verstehst was ich meine. Der binomische Lehrsatz, macht eben nur Sinn wenn eine Potenz eines Binoms vorhanden ist. Hast du vielleich vergessen die Potenz anzugeben? Oder meinst du vielleicht:
$$ (2x^3 - 3y^4)^n $$

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 6 Tage

Hallo Christian,

oke ich muss mich entschuldigen, habe hier die Potenz "4" in der Angabe vergessen... Also (2x^3 - 3y^4))^4 ... macht es jetzt mehr Sinn für dich beziehungsweise kannst du mir jetzt erklären wie man auf die Lösung 96 als Koeffizienten kommt?

Danke für deine Geduld!

Lg
Markus
  -   thereds, kommentiert vor 1 Woche, 5 Tage
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1 Antwort
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Kein Problem. Zusammen kommen wir schon auf die Lösung ;)

Jetzt können wir zumindest schon mal den binomischen Lehrsatz anwenden

$$ (2x^3 + (-3y^4))^4 = \sum\limits_{k=0}^4 \binom{4}{k} (2x^3)^{4-k} \cdot (-3y^4)^k \\ = \binom{4}{0} (2x^3)^4 \cdot (-3y^4)^0 + \binom{4}{1} (2x^3)^3 \cdot (-3y^4)^1 + \binom{4}{2} (2x^3)^2 \cdot (-3y^4)^2 + \binom{4}{3} (2x^3)^1 \cdot (-3y^4)^3 + \binom{4}{4} (2x^3)^0 \cdot (-3y^4)^4 \\ = 16x^{12} + (-96)x^9y^4 +216x^6y^8 + (-216) x^3y^{12} + 81y^{16} $$

Nun haben wir zwar keinen Summanden mit \(x^4y^2 \). Auch nicht \( a^4b^2 \) , mit \( a= 2x^3\) und \( b=-3y^4 \) aber wir haben den Vorfaktor \( 216 \) im dritten Summanden. Dieser hat aber die Potenzen \( x^6y^8 \) bzw \( a^2b^2\). 

Hilft dir das schon? Vielleicht nochmal ein Dreher in einer Potenz? Vielleicht magst du ansonsten die Aufgabe einmal als Bild hochladen :)

Ein Summand mit \( a^4b^2 \) kann eigentlich nur entstehen, wenn wir \( (2x^3 - 3y^4)^6 \) berechnen würden, da wir dann \( n= 6 \) hätten. Da \( b \) die Potenz \(2 \) hat, gilt \( k=2 \) und somit \( n-k = 4 \Rightarrow n = 6 \).

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Woche, 5 Tage
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.68K
 

Hallo Christian,

leider war es mir nicht möglich das Bild in mein Kommentar zu laden, deshalb findest Du es jetzt im ersten Beitrag.
Also ich kann Dir im Grunde folgen und habe dann auch schon den Fehler in meiner Angabe gefunden - wieder einmal... (2x^3 - 3y)^4 ist die korrekte Angabe (siehe Beispiel e.)

Nichtsdestotrotz ist mir immer noch nicht ganz klar wie man auf die Lösung "216" kommt?

Danke vielmals für deine Hilfe!
LG
Markus
  -   thereds, kommentiert vor 1 Woche, 5 Tage

ah jetzt haben wir es aber :D bei der e) steht aber auch eine \( 2 \) als Exponent von \( x \). Rechnen wir das nochmal durch
$$ (2x^2 -3y)^4 = \sum\limits_{k=0}^4 \binom{4}{k} (2x^2)^{4-k} (-3y)^k = \sum\limits_{k=0}^4 \binom{4}{k} 2^{4-k} \cdot x^{2(4-k)} \cdot (-3)^k \cdot y^k $$
Wir können uns jetzt die Berechnug aller Summanden sparen. \(y \) soll den Exponenten \( 2 \) haben, somit gilt \( k=2 \). wenn wir das in den Exponenten von \( x \) einsetzen, erhalten wir
$$ 2(4-k) = 2(4-2) = 2 \cdot 2 = 4 $$
also haben wir für \( k=2 \) endlich die geforderten Exponenten. Setzen wir in die Vorschrift mal \( k=2 \) ein, erhalten wir:
$$ \binom{4}{2} (2x^2)^{4-2} (-3y)^2 = \frac {4!} {2! \cdot (4-2)!} (2x^2)^2 (-3y)^2 = \frac {24} {2 \cdot 2} \cdot 2^2 \cdot x^4 \cdot (-3)^2 \cdot y^2 = \frac {24} 4 \cdot 4 \cdot 9 \cdot x^4y^2 = 6 \cdot 36 \cdot x^4y^2 = 216 x^4y^2 $$
Ist die Rechnung nun klar?

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Es würde vermutlich Zeit sparen, wenn ich sofort ein Bild der Angabe posten würde.
Nun ist es mir klar wie es funktioniert, vielen, vielen Dank!!
  -   thereds, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Das hätte es vermutlich etwas beschleunigt :p
Freut mich zu hören. Sehr gerne :)
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage
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