Hallo,

ja das ist der richtige Weg. Weil die Betragsfunktion für negative und nichtnegative Zahlen unterschiedlich definiert ist, bietet es sich immer an eine Fallunterscheidung zu machen, denn wir dürfen natürlich auch Teilintervalle einzeln integrieren.

$$ \vert  x \vert = \left\{ \begin{matrix} x, & \text{für} & x \geq 0 \\ -x, & \text{für} & x < 0 \end{matrix} \right. $$

Wir integrieren

$$ \int \frac 1 {\sqrt{x}} \mathrm{d}x = 2\sqrt{x}$$

und 

$$ \int \frac 1 {\sqrt{-x}} \mathrm{d}x = -2 \sqrt{-x} $$

Nun schreiben wir beide Ausdrücke so um, das wir für die Fälle wieder die Betragsfunktion erhalten

$$ 2\sqrt{x} = \frac {2x} {\sqrt{x}} = \frac {2x} {\sqrt{|x|}} $$

und

$$ -2\sqrt{-x} = \frac {-2(-x)} {\sqrt{-x}} = \frac {2x} {\sqrt{|x|}} $$ 

Damit erhalten wir also 

$$ \int \frac 1 {\sqrt{|x|}} \mathrm{d}x = \frac {2x} {\sqrt{|x|}} $$

Grüße Christian