Differentialgleichung lösen


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Hallo.

Ich soll verschiedene Lösungen zu Anfangswertaufgaben zu gegebener Differentialgleichung berechnen. Leider scheitere ich bereits an derer allgemeiner Lösung.

Es ist für \(U=\mathbb{R}^2\) gegeben: \(y'=-2\sqrt{\vert{y}\vert}\sin(x)\).

Wenn ich nun die Trennung der Variablen durchführe, erhalte ich:

$$ \int{\frac{dy}{\sqrt{\vert{y}\vert}}}=-2\int{\sin (x)dx} $$.

Ist das der richtige Weg? Denn das Integral \( \int{\frac{dy}{\sqrt{\vert{y}\vert}}}\) scheint mir sehr schwierig zu berechnen.

Als erste Teilaufgabe sind zwei Lösungen der Anfangswertaufgabe \(y(0)=1\) zu bestimmen (auf \(\mathbb{R}\) definiert).

 

Ich freue mich wie immer über jeden Tipp!

Vielen Dank.

 

 

gefragt vor 2 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 223
 

Hallo,
Schreibe doch statt \(\frac{dy}{\sqrt{|y|}}\) einfach \((|y|)^{-\frac{1}{2}}\). Dann sollte die Berechnung des Integrals leichter fallen.
  -   matheaufehrenbasis, kommentiert vor 1 Woche, 6 Tage

Darf man das denn einfach machen (wegen des Betrags)? Bei www.integralrechner.de erhalte ich nämlich nicht das Ergebnis \(2\sqrt{y}\), wie es ohne Betrag auf jeden Fall lautet.   -   tisterfrimster, kommentiert vor 1 Woche, 6 Tage
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1 Antwort
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Hallo,

ja das ist der richtige Weg. Weil die Betragsfunktion für negative und nichtnegative Zahlen unterschiedlich definiert ist, bietet es sich immer an eine Fallunterscheidung zu machen, denn wir dürfen natürlich auch Teilintervalle einzeln integrieren.

$$ \vert  x \vert = \left\{ \begin{matrix} x, & \text{für} & x \geq 0 \\ -x, & \text{für} & x < 0 \end{matrix} \right. $$

Wir integrieren

$$ \int \frac 1 {\sqrt{x}} \mathrm{d}x = 2\sqrt{x}$$

und 

$$ \int \frac 1 {\sqrt{-x}} \mathrm{d}x = -2 \sqrt{-x} $$

Nun schreiben wir beide Ausdrücke so um, das wir für die Fälle wieder die Betragsfunktion erhalten

$$ 2\sqrt{x} = \frac {2x} {\sqrt{x}} = \frac {2x} {\sqrt{|x|}} $$

und

$$ -2\sqrt{-x} = \frac {-2(-x)} {\sqrt{-x}} = \frac {2x} {\sqrt{|x|}} $$ 

Damit erhalten wir also 

$$ \int \frac 1 {\sqrt{|x|}} \mathrm{d}x = \frac {2x} {\sqrt{|x|}} $$

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Woche, 5 Tage
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.68K
 

Das macht Sinn! Ich konnte die Aufgabe nun lösen. Wie immer herzlichen Dank für deine Hilfe!   -   tisterfrimster, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Sehr gerne :)   -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage
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