Lineare unabhängigkeit von zwei Vektoren mit jeweils 3 Elementen prüfen


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Also ich komme soweit klar die lineare unabhängikeit bzw abhängikeit von einer Menge E zu beweisen wenn es Mindestens 3 Vektoren sind. Also mit Gauss Algorithmus oder Determinante. Aber ich kann ja keine Determinante berechnen von 2 Vektoren die jeweils 3 Elemente haben da das ja keine quadratische Matrix ist. Und Gauss Algorithmus mit 2 vektoren hab ich auch noch nie gesehen. Ich weiß dass sie linear unabhängig sind wenn sich der Nullvektor nur erstellen lässt wenn alle koeffizienten 0 sind. Aber wie beweise ich das jetzt ohne Gauss und Determinante?

 

gefragt vor 1 Woche, 5 Tage
m
mathenoob2,
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1 Antwort
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Hallo,

die Determinante kannst du nicht nutzen, da hast du recht. Allerdings kannst du den Gauß Algorithmus auch auf Gleichungssysteme mit einer nicht quadratische Koeffizientenmatrix anwenden. 

Du kannst dir aber auch erstmal ein Gleichungssystem basteln, indem du aus jeder Koordinate eine Gleichung aufstellst.

Nehmen wir mal als Beispiel die 2 Vektoren

$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Diese Vektoren sind linear unabhängig, wenn 

$$ \lambda_1 \cdot \vec{a} + \lambda_2 \cdot \vec{b} = 0 $$

nur für \( \lambda_1,\lambda_2 = 0 \) erfüllt ist.

Daraus kannst du dir nun entweder ein LGS basteln durch

$$ \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda_2  \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = 0 $$

erhalten wir

$$ \begin{array}{cccc} I: & \lambda_1 + 2 \lambda_2 & = & 0 \\ II: & 2\lambda_1 + 3\lambda_2 & = & 0 \\ III: & 3\lambda_1 + 4\lambda_2 & = & 0 \end{array} $$

Das kann man nun durch Verfahren wie das Subtraktionsverfahren (oder andere) lösen oder wir nutzen den Gauß Algorithmus um das LGS zu lösen

$$ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 &  4 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $$

Könntest du durch beide Verfahren das LGS lösen oder sollen wir das auch nochmal zusammen durch gehen?

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Woche, 4 Tage
christian strack, verified
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