Hallo,

das Themengebiet ist Prozentrechnung.

Wir haben einen Umsatz, nennen wir diesen allgemein \( U \). Dieser soll jährlich um einen Prozentsatz \( p \) steigen. Das drücken wir mit

$$ U \cdot (1+p) $$

aus. \( 1+p \), da der Umsatz steigen soll. Durch die \( 1 \) behalten wir die vorherigen \(100\% \) und erhöhen um \( p \).

Nun soll nach \( 10 \) Jahren, der \( 5\)-fachse Umsatz erreicht sein. Wenn sich \( 10 \) Jahre lang der Umsatz erhöht, drücken wir das mit

$$ U \cdot (1+p)^{10} $$

aus. Wie bereits erwähnt, steigert \( 1+p \) den Umsatz um den gewollten Prozentsatz und durch die Potenz \( 10 \) machen wir das \(10\) Mal.

Den fünfachen Umsatz drücken wir mit

$$ 5 \cdot U $$

aus. Damit erhalten wir letztendlich den Zusammenhang

$$ \begin{array}{ccccl} & U \cdot (1+p)^{10} & = & 5 \cdot U & \vert \div U \\ \Rightarrow & (1+p)^{10} & = & 5 & \vert \sqrt[10]{\ldots} \\ \Rightarrow & 1+p & = & \sqrt[10]{5} & \vert -1 \\ \Rightarrow & p & = & \sqrt[10]{5}-1 \\ \Rightarrow & p & = & 0,174618\ldots  \\ \Rightarrow & p & \approx & 17,46\% \end{array} $$

Grüße Christian