Question

Induktion einer Ungleichung mit Summe

Erste Frage Aufrufe: 943 Aktiv: 13.10.2018 um 11:39

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Hallo zusammen, Ich brauche Hilfe beim beweisen dieser Aussage. Induktionsanfang ist klar, aber der letzte Schritt, der endgültige Beweis scheitert bei mir... Kann mir da vielleicht jemand helfen?

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gefragt 13.10.2018 um 11:39

i3ecker
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4 Antworten

christian_strack · Answer 1 · 2018-10-13T12:51:02Z

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Hallo, poste doch einmal wie weit du gekommen bist. Dann ist es leichter zu erklären woran es liegt. Grüße Christian

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geantwortet 13.10.2018 um 12:51

christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

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i3ecker · Answer 2 · 2018-10-13T13:36:34Z

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Ich bin bei V → B: 1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√n+1 ≥ 2√n+2 -1 Ich weiß aber absolut nicht, wie ich das weiter vereinfachen soll, um auf einen eindeutigen Beweis zu kommen... Vorausgesetzt das oben ist überhaupt richtig

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geantwortet 13.10.2018 um 13:36

i3ecker
Student, Punkte: 12

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carl-friedrich-gauss · Answer 3 · 2018-10-13T16:45:02Z

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Hallo,

nutze, dass $2\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq 2\sqrt{n+1}$ gilt. Mit dieser Ungleichung ist deine Aufgabe recht trivial.

Eventuell wird von dir erwartet, dass du die Ungleichung dann beweisen musst. Das ist aber auch nicht so schwierig.

Gruß,

Gauß

*Edit*: "Dennoch verstehe ich nicht, wieso obige Ungleichung gilt.

Könntest du erläutern, wieso das der der Fall ist?"

Gerne doch.

$2\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq 2\sqrt{n+1} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{n}}\geq 2\left ( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right )$

Nun erweitern wir und nutzen eine der Binomischen Formeln und erhalten:

$\frac{1}{\sqrt{n}}\geq 2\left ( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right )=2\ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\geq2$

$\Leftrightarrow \underbrace{\sqrt{\frac{n+1}{n}}}_{>1}+1\geq2 \ \checkmark$.

Alles Klar?

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geantwortet 13.10.2018 um 16:45

carl-friedrich-gauss
Lehrer/Professor, Punkte: 1.99K

Die Umformung ja, dennoch verstehe ich immer noch nicht, wie du von der Ausgangsgleichung auf deine Ungleichung gekommen bist.

Woher kommt das 2 $xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><msqrt><mi>n</mi></msqrt><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mfrac><mo>≥</mo><mn>2</mn><msqrt><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt><mo stretchy="false">⇔</mo><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mfrac><mo>≥</mo><mn>2</mn><mrow><mo>(</mo><mrow><msqrt><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt><mo>−</mo><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></math>">√n?$

Die Umformung ja, dennoch verstehe ich immer noch nicht, wie du von der Ausgangsgleichung auf deine Ungleichung gekommen bist.Woher kommt das 2<span id="MathJax-Element-2-Frame" class="MathJax" style="box-sizing: border-box; display: inline; font-style: normal; font-weight: normal; line-height: normal; font-size: 16px; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; letter-spacing: normal; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; padding: 0px; margin: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;msqrt&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msqrt&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;msqrt&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msqrt&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;&amp;#x2265;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;msqrt&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msqrt&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;&amp;#x21D4;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;msqrt&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msqrt&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;&amp;#x2265;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msqrt&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msqrt&gt;&lt;mo&gt;&amp;#x2212;&lt;/mo&gt;&lt;msqrt&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msqrt&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/math&gt;">√n?

─ i3ecker 14.10.2018 um 12:02

Man guckt sich beim Induktionsschritt an, welche Ungleichung zum Ziel führen würde.

Unsere Aufgabe ist es, $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\geq 2\sqrt{n+1}-2$ zu beweisen.

Der Indukationsschritt könnte wie folgt aussehen:

$\underline{n \to n+1:}$

$\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\overset{I.V}{\geq}2\sqrt{n+1}-2+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

$=2\sqrt{n+1}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2$. Wenn nun also $2\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq2\sqrt{n+1}$ gilt, so erhalten wir:

$2\sqrt{n+1}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\geq2\sqrt{n+2}-2$, was den Beweis vollenden würde.

D.h, sofern die Ungleichung gilt, ist der Beweis korrekt. Dass die Ungleichung gilt haben wir oben ja schon gezeigt.

Beantwortet das deine Frage? ─ carl-friedrich-gauss 14.10.2018 um 15:31

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i3ecker · Answer 4 · 2018-10-13T17:38:50Z

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Vielen Dank für die Hilfe.

Dennoch verstehe ich nicht, wieso obige Ungleichung gilt.

Könntest du erläutern, wieso das der der Fall ist?

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geantwortet 13.10.2018 um 17:38

i3ecker
Student, Punkte: 12

Ich habe meine Antwort für dich überarbeitet. ─ carl-friedrich-gauss 13.10.2018 um 18:03

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