Beweise

Erste Frage Aufrufe: 829     Aktiv: 17.07.2019 um 20:42
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Ich bräuchte dringend Videos zu Beweistechniken jeglicher Art von Mengenlehre Aussagenlogik ect.

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Hallo, die drei wichtigsten Beweistechniken sind
  1. der direkt Beweis
  2. der indirekte Beweis
  3. die vollständige Induktion
Ich habe mal Videos von Daniel angehängt. Hier noch ein Video mit einer Wahrheitstafel für die Aussagenlogik. Noch bedarf an was speziellen oder eine spezielle Frage? Grüße Christian
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Der indirekte Beweis wird auch »reductio ad absurdo«, kurz RAA, oder Beweis durch Widerspruch genannt. Der Witz daran ist, dass etwas (zum Beispiel die Aussage A) bewiesen wird, indem sein kontradiktorisches Gegenteil (zum Beispiel die Negation der Aussage A, das heißt ¬A) widerlegt wird. Das funktioniert, solange es sich das, was bewiesen und das, was widerlegt wird, kontradiktorisch zueinander verhalten. Das heißt beides darf weder gleichzeitg wahr noch gleichzeitig falsch sein können. Letzteres wäre der Fall, wenn es eine dritte Möglichkeit gäbe, die wahr ist. Entweder – oder.   ─   jake2042 17.07.2019 um 17:34
Zu der Konstruktion von Wahrheitstafeln:

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Wahrheitstafeln zu konstruieren. Keine davon ist besser oder schlechter als die andere. An dieser Stelle möchte ich eine Alternative zu der Art vorstellen, wie Daniel Jung sie in dem von Christian verlinkten Video darstellt. Deshalb nehme ich das Beispiel aus dem Video:

$$\left(A\rightarrow B\right)\leftrightarrow\left(\lnot B\rightarrow\lnot A\right) \tag{1}$$

Term (1) setze ich jetzt einfach in den Kopf einer Wahrheitstafel. Links vom Term führe isch noch alle Fälle auf. Das sieht zunächst so aus:

\(
\begin{array}{|cc|ccccccc|}
\hline
A & B & (A & \rightarrow & B) & \leftrightarrow & (\lnot{}B & \rightarrow & \lnot{}A)\\
\hline
\textrm{w} & \textrm{w} & & & & & & & \\
\textrm{w} & \textrm{f} & & & & & & & \\
\textrm{f} & \textrm{w} & & & & & & \\
\textrm{f} & \textrm{f} & & & & & & & \\
\hline
\end{array}
\)

Jetzt kopiere ich die Wahrheitswerte von A und B aus dem linken Teil der Tabelle in den Teil, in dem der Term steht, jeweils unter die Satzbuchstaben \(A\) und \(B\) und schreibe die gedrehten Wahrheitswerte jeweils unter die negierten Wahrheitswerte \(\lnot{}A\) und \(\lnot{}B\). Das sieht dann so aus:

\(
\begin{array}{|cc|ccccccc|}
\hline
A & B & (A & \rightarrow & B) & \leftrightarrow & (\lnot{}B & \rightarrow & \lnot{}A)\\
\hline
\textrm{w} & \textrm{w} & \textrm{w} & & \textrm{w} & & \textrm{f} & & \textrm{f}\\
\textrm{w} & \textrm{f} & \textrm{w} & & \textrm{f} & & \textrm{w} & & \textrm{f}\\
\textrm{f} & \textrm{w} & \textrm{f} & & \textrm{w} & & \textrm{f} & & \textrm{w}\\
\textrm{f} & \textrm{f} & \textrm{f} & & \textrm{f} & & \textrm{w} & & \textrm{w}\\
\hline
\end{array}
\)

Der Schritt, den ich jetzt mache, ist, jeweils die Wahrheitswerte für die Implikationen aus dem vorderen und dem hinteren Teilterm zu bestimmen. Diese Wahrheitswerte setze ich unter die jeweiligen Implikations-Junktoren (das sind die WENN-DANN-Pfeile). Ob ich zuerst den vorderen oder zuerst den hinteren Teilterm bearbeite, ist dabei gleichgültig. Jetzt habe ich folgendes:

\(
\begin{array}{|cc|ccccccc|}
\hline
A & B & (A & \rightarrow & B) & \leftrightarrow & (\lnot{}B & \rightarrow & \lnot{}A)\\
\hline
\textrm{w} & \textrm{w} & \textrm{w} & w & \textrm{w} & & \textrm{f} & w & \textrm{f}\\
\textrm{w} & \textrm{f} & \textrm{w} & f & \textrm{f} & & \textrm{w} & f & \textrm{f}\\
\textrm{f} & \textrm{w} & \textrm{f} & w & \textrm{w} & & \textrm{f} & w & \textrm{w}\\
\textrm{f} & \textrm{f} & \textrm{f} & w & \textrm{f} & & \textrm{w} & w & \textrm{w}\\
\hline
\end{array}
\)

Schließlich vergleiche ich die Wahrheitswerte der beiden Teilterme, die unter den jeweiligen Implikations-Junktoren zu finden sind, miteinander. Wenn sich die Wahrheitswerte entsprechen (also w zu w oder f zu f), dann kommt unter den Doppelimplikations-Junktor (GENAU-DANN-WENN-Doppelpfeil) jeweils ein w, sonst ein f. Die fertige Wahrheitstafel sieht dann so aus:

\(
\begin{array}{|cc|ccccccc|}
\hline
A & B & (A & \rightarrow & B) & \leftrightarrow & (\lnot{}B & \rightarrow & \lnot{}A)\\
\hline
\textrm{w} & \textrm{w} & \textrm{w} & w & \textrm{w} & \mathbf{w} & \textrm{f} & w & \textrm{f}\\
\textrm{w} & \textrm{f} & \textrm{w} & f & \textrm{f} & \mathbf{w} & \textrm{w} & f & \textrm{f}\\
\textrm{f} & \textrm{w} & \textrm{f} & w & \textrm{w} & \mathbf{w} & \textrm{f} & w & \textrm{w}\\
\textrm{f} & \textrm{f} & \textrm{f} & w & \textrm{f} & \mathbf{w} & \textrm{w} & w & \textrm{w}\\
\hline
\end{array}
\)

Wie an den fett hervorgehobenen Wahrheitswerten zu sehen ist, sind beide Teilterme zueinander äquivalent.

Viele Grüße
jake2042



   ─   jake2042 17.07.2019 um 20:37
Errata

[...] schreibe die gedrehten Wahrheitswerte jeweils unter die negierten Wahrheitswerte ¬A und ¬B.

soll heißen:

[...] schreibe die gedrehten Wahrheitswerte jeweils unter die negierten Satzbuchstaben ¬A und ¬B.   ─   jake2042 17.07.2019 um 20:42

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