Hallo,
der Befehl ist "\overline{}".
Oh ja hab ich auch gar nicht drauf geachtet. Natürlich ist es \( z^k \) :p.
Ich will nicht sagen dass das gleich ist, auch wenn beides Nullstelle ist und somit wir das gleichsetzen könnten.
Der Ansatz ist, es gilt:
\( p(z) = \sum^n_{k=0}a_k z^k = 0 \)
da z Nullstelle ist.
Jetzt konjugiere ich einfach die komplette Gleichung komplex.
\( \Rightarrow \overline{p(z)} = \overline{\sum^n_{k=0} a_k z^k} = \overline{0} \)
Jetzt gehen wir an deinen ersten Tipp
\( \overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w} \) und erhalten
\( \Rightarrow \overline{p(z)} = \sum^n_{k=0} \overline{ a_k z^k} = \overline{0} \)
Nun nehmen wir den zweiten Tipp
\( \overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w} \) und erhalten
\( \Rightarrow \overline{p(z)} = \sum^n_{k=0} \overline{ a_k} \overline{ z^k} = \overline{0} \)
Außerdem gibt uns der Tipp noch folgende Umformung: \( \overline{z^k} = \overline{z}^k \)
\( \Rightarrow \overline{p(z)} = \sum^n_{k=0} \overline{ a_k} \overline{ z}^k = \overline{0} \)
Jetzt hast du schon richtig erkannt das \( a_k \) und natürlich auch die 0 reelle Zahlen sind und somit gilt:
\( \overline{a_k} = a_k \) und \( \overline{0} =0 \)
wir kommen also auf
\( \Rightarrow \overline{p(z)} = \sum^n_{k=0} a_k \overline{z}^k = 0 = p(\overline{z})\)
Somit ist auch \( p(\overline{z}) \) eine Nullstelle.
Grüße Christian
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Wenn doch noch etwas unklar ist melde dich einfach nochmal.
Grüße Christian ─ christian_strack 05.11.2018 um 13:42