5er Zahlenkette mit Fibonacci Regel


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ich habe folgende Aufgaben erhalten und komme nicht weiter: Wir betrachten alle 5er-Zahlenketten, die mit 39 enden. (i) Bestimmen Sie sämtliche Anfangszahlen a und b, so dass die zugehörige 5er-Zahlenkette mit 39 endet. (ii) Bestimmen Sie alle natürlichen  Anfangszahlen a und b, so dass die zugehörige  5er- Zahlenkette mit 39 endet. (iii) Bestimmen Sie alle ganzen Anfangszahlen a und b, so dass die zugehörige 5er-Zahlenkette mit 39 endet. Mein Ansatz bisher ist folgender: für die 5. Zahl gilt: 2a+3b = 39 also a=19,5- 3/2b und b= 13-2/3a also a muss mindestens 0 sein und höchstens 19? und b dann mindestens 0 und höchstens 13? ich glaube a muss auf jeden Fall durch 2 teilbar sein, richtig? Und b müsste doch ein Vielfaches von 3 sein. Ist das korrekt? Aber wie genau ermittele ich jetzt die Werte für i) ii) und iii) ? Für Tipps wäre ich unendlich dankbar!

 

gefragt vor 1 Jahr
f
feli91,
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13 Antworten
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Hallo, dein Ansatz ist richtig. Es gilt \( 2a +3b = 39 \) Dadurch bekommst du eine Einschränkung für b, nämlich \( b = 13 - \frac 2 3 a\) Haben wir die Einschränkung für b brauchen wir nur noch eine für a, da b in Abhängigkeit von a steht. Nun musst du dir überlegen gibt es eine Zahl für a die du hier nicht einsetzen kannst? Wenn du alle Zahlen für a gefunden hast, musst du für ii) überlegen welche Zahlen davon natürliche und für die iii) welche Zahlen davon ganze Zahlen sind. Das sind dann deine Lösungen. Grüße Christian
geantwortet vor 1 Jahr
christian strack, verified
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Also a darf in dem Fall nicht größer als  19,5 sein, da 13- (2/3 x 19,5)=0 ist. Korrekt? Also 20 könnte man z.B nicht einsetzen, da b ansonsten negativ wäre?!

also gilt für  i) a für alle Zahlen, die kleiner sind als 19,5

Und für ii)?

iii) da a durch 3 teilbar sein muss bleiben die ganzen Zahlen (0,3,6,9,12,15,18) für a übrig.richtig?

 

aber dann macht i ja keinen Sinn, oder? 

 

 

 

geantwortet vor 1 Jahr
f
feli91,
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Warum sollte b nicht negativ sein dürfen? Nehmen wir mal der Einfachheit halber \( a= 21 \). \( b= 13- \frac 2 3 \cdot 21 = -1 \) Dann haben wir die Folge \( 21, -1, 20, 19, 39 \) Damit ist die ii) doch nicht sinnlos. Dort kommt die Überlegung der Teilbarkeit von a und b ins Spiel. Also das a durch 2 und b durch 3 teilbar sein muss. Für die iii) sind genau das die Zahlen. Dort brauchst du dann die Einschränkung nach oben, da sonst die andere Zahl nicht mehr eine natürliche Zahl ist. Grüße Christian
geantwortet vor 1 Jahr
christian strack, verified
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Und du weißt, dass a < b sein muss. Und wenn b maximal 13 sein kann, weißt du auch, dass a maximal 12 sein kann. a muss durch 2 teilbar sein, b durch 3.  
geantwortet vor 1 Jahr
mcbonnes,
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Wieso sollte das so sein? Die Vorschrift sagt lediglich aus

\( f_n = f_{n-1} + f_{n-2} \) mit \( n > 2 \)

Selbst die Fibonacci Folge ist definiert über die Vorschrift und den Startwerten a=b=1.

  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Jahr
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Du meinst 2a muss durch 2 teilbar sein, oder? Weil ich könnte für a ja 3 einsetzen und für b z.b. 11. oder?
geantwortet vor 1 Jahr
f
feli91,
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Jetzt verstehe ich gar nichts mehr.... also a darf nicht größer als 19,5 sein und b nicht größer als 13, richtig? Aber warum muss a gerade sein, oder muss 2a gerade sein?
geantwortet vor 1 Jahr
f
feli91,
Student, Punkte: 163
 
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Oh ja da habe ich was durcheinander gebracht. 2a muss durch 3 teilbar sein. Wir haben ja \( \frac 2 3 a \) diese Zahl muss eine ganze Zahl damit b auch eine natürliche Zahl wird. Für b ist das etwas komplizierter. Es gilt 39-3b muss durch 2 teilbar sein. Aber wir haben für b ja schon unsere Einschränkung. \( b = 13 - \frac 2 3 a \)
geantwortet vor 1 Jahr
christian strack, verified
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Das heißt für i) a= alle zahlen nicht größer als 19,5 und 2a muss durch 3 teilbar sein, also: a=1 ist nicht möglich, da 2x1 nicht durch drei teilbar a=1,5 ist möglich, da 2x1,5=3 a=2 ist nicht möglich s.o a=2,5 nicht s.o a=3 möglich a=4,5 möglich a=6 ist möglich a=7,5 ist möglich a=9 ist möglich a=10,5 ist möglich a=12 a=13,5 a=15 a=16,5 a=18 a=19,5 sind das wirklich alle möglichen Zahlen?
geantwortet vor 1 Jahr
f
feli91,
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Nein das habe ich ja nicht gesagt.

Für die i) sehe ich keine Einschränkung außer unsere Gleichung

\( b= 13 - \frac 2 3 a \)

Da du alle reellen Zahlen nutzen kannst gibt es auch keine Einschränkung. Stell dir eine Gerade vor 

\( y = -\frac 2 3 x + 13 \) 

Alle Werte auf dieser Geraden erfüllen unsere Gleichung

zu ii)

Hier hast du eine weitere Einschränkung. a und b müssen ganze Zahlen sein. Hier kommt eben die Teilbarkeit ins Spiel, da mit unserer Einschränkung für b nur ganze Zahlen herauskommen, wenn 2a durch 3 teilbar ist, weil dann gilt

\( \frac 2 3 a \in \mathbb{Z} \)

Das müssen wir haben, da die Differenz von 13 und einer anderen Zahl nur eine ganze Zahl ergibt wenn die andere Zahl auch eine ganze Zahl ist.

zu iii)

Nun haben wir nur noch die natürlichen Zahlen. Hier musst du zusätzlich eben auf die Grenzen aufpassen die du die ganze Zeit haben willst, da sonst b negativ wird und somit keine natürliche Zahl mehr ist.

geantwortet vor 1 Jahr
christian strack, verified
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D.h es ist gar nicht nach konkreten Zahlen für a und b gefragt, wie ich sie z.b (falsch) aufgelistet habe, sondern ich muss lediglich diese Einschränkungen nennen?
geantwortet vor 1 Jahr
f
feli91,
Student, Punkte: 163
 
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Bei i) und ii) gibt es unendlich viele deshalb dürfte das schwierig werden. Es gibt nur eine begrenzte Anzahl an Zahlen wenn man das ganze auf die natürlichen Zahlen begrenzt. Diese kannst du gerne raussuchen. Aber es geht hier um Zahlenmengen und die kannst du auch immer über Vorschriften darstellen. Nimmt einen viel Arbeit ab. ;)  
geantwortet vor 1 Jahr
christian strack, verified
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Danke!! Du bist mein Retter!!
geantwortet vor 1 Jahr
f
feli91,
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Sehr gerne. :)
geantwortet vor 1 Jahr
christian strack, verified
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