Hallo, der Abstand zweier Ebenen lässt sich allgemein wie folgt bestimmen:

\(d=\frac{\left | \vec{n}_1 \cdot (\vec{r}_1-\vec{r}_2)\right |}{\left | \vec{n}_1 \right |}=\frac{\left | \vec{n}_2 \cdot (\vec{r}_1-\vec{r}_2)\right |}{\left | \vec{n}_2 \right |}\)

wobei \(\varepsilon_1:\vec{n}_1\cdot (\vec{r}-\vec{r}_1)=0\, , \varepsilon_2:\vec{n}_2\cdot (\vec{r}-\vec{r}_2)=0\) die Gleichungen der zwei parallelen Ebenen sind.

In deinem Fall ist der Abstand schon gegeben. Deshalb stellst du eine neue Ebene auf, in der du deine Koordinaten und die Konstante durch den Betrag deines NV der HNF dividierst. Danach addierst bzw. subtrahierst du den Abstand dazu.

Somit ergibt sich \(\varepsilon_{\pm 3}: \frac{5x+8y+6z}{\sqrt{125}}+\frac{4}{\sqrt{125}}\pm 3=0\) als deine zwei Ebenen.

Naja, die Gleichung \(\frac{5x+8y+6z+4}{\sqrt{125}}=3\) kannst du umformen zu \(5x+8y+6z+4=3\sqrt{125} \Leftrightarrow 5x+8y+6z=-4-3\sqrt{125}\)

Sprich \(q_{1,2} = -4\pm 3\sqrt{125} \rightarrow q_1=-37.54,q_2=29.54 \)

Vereinfacht kann man auch durchführen \(\epsilon_{\pm d}:5x+8y+6z+4\pm d\cdot \left | \vec{n} \right |=0\) sprich \(\epsilon_{\pm 3}:5x+8y+6z+4\pm 3\cdot \sqrt{5^2+8^2+6^2}=0 \)