Hallo,
zuerst einmal berechnen wir die Höhe des Dreiecks, der da für gleichseitige Dreiecke lautet: \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot s\).

Wenn wir uns diese Flächen in einem Koordinatensystem vorstellen, startet die Strecke x bei (0|5) und endet bei (9.33|2.5).
Die Differenz ist als 2.5 auf der y-Achse und 9.33 auf der x-Achse. Nun dividieren wir y durch x, woraus wir auf ungefähr 0.28 kommen. Das ist Änderung pro 1 LE.
Jetzt wollen wir die Änderung an der Stelle x=5, damit wir wissen, was unser Punkt P (5|y) ist. \(\frac{2.5}{9.33}*5=1.34\). Somit haben wir eine Veränderung von 1.34 LE innerhalb der 5cm. Jetzt müssen wir diesen Wert noch von dem Anfangswert (5) subtrahieren. \(5-1.34=3.66\) . Daraus folgt: Punkt P (5|3.66).

Also haben wir Punkt P (5|3.66) und B (9.33|2.5). Den Abstand zweier Punkte berechnet man wie folgt: \(d:=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) Somit ergibt sich: \(d=\sqrt{(9.33-5)^2+(2.5-3.66)^2} = 4.48 \mathrm{cm}\)

Eine Alternative zu der Formel mit dem Satz des Pythagoras:
Wenn wir nun das gleichseitige Dreieck in zwei gleichgroße rechtwinklige Dreiecke aufteilen, ergibt sich jeweils als Höhe 4.33cm, die Hypotenuse ist s=5cm und die verbleibende Seite \(\frac{5}{2}=2.5\,cm\). Wenn wir von diesem Wert die 1.34cm subtrahieren, bleiben 1.16cm übrig. Diesen Weg "gehst" du von der Mitte des gleichseitigen Dreiecks "nach oben", wodurch du wieder auf deinen Punkt P stößt (\(2.5+1.34=3.66\)). Laut dem Satz des Pythagoras (\(c^2=a^2+b^2\)) kannst du nun die gesuchte Strecke \(\overline{PB}\) berechnen, indem c=x deine gesuchte Hypotenuse ist, b die Höhe des Dreiecks (4.33cm) und die andere Ankathete a = 1.34cm ist. Es ergibt sich:

\(x^2=4.33^2+1.34^2 \Rightarrow x=\sqrt{20.55} \Rightarrow x\approx 4.53cm\) (neg. Lösung entfällt)

Skizze dazu: