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Polynome sind stetige Funktionen. Deshalb ist der Vektorraum der Polynomfunktionen ein Unterraum des Vektorraums der stetigen Funktionen und somit muss die Dimension (Kardinalität der Basis) des Vektorraums der stetigen Funktionen größer gleich des Unterrraums der Polynome sein.
\( \lambda \cdot x^i \) sind erstmal Monome aber du hast recht das man daraus alle Polynome basteln kann. Das ist genau die Definition eines Erzeugendensystems. Die Basis der Polynome ist
\( \{x^i \vert i \in \mathbb{N}_0 \} = \{1,x,x^2,x^3 , \ldots \} \)
Aber die Idee dahinter hast du richtig erkannt. Egal welches i wir aus den natürlichen Zahlen wählen wir können mindestens ein i+1 finden das wieder größer ist als i und somit ein Basiselement ist.
Wenn ihr die Polynome noch nicht als Vektorraum definiert habt musst du vielleicht einmal kurz zeigen dass das ein Unterraum ist.
Grüße Christian
─ christian_strack 26.11.2018 um 12:13
Würde das schon der Aufgabe entsprechen? ─ tisterfrimster 25.11.2018 um 20:51