Basis eines Vektorraums


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Also folgende Aufgabe: Entscheiden Sie jeweils, ob die vorgegebene Menge C eine Basis des R-Vektorraums V ist oder nicht. Kann C durch Hinzufügen einer geeigneten Menge von Vektoren X zu einer Basis von V ergänzt werden, so geben Sie ein solches X an. Erhält man dagegen durch Weglassen geeigneter Vektoren aus C eine Basis von V , so geben Sie eine solche Teilmenge B ⊂ C an, die eine Basis von V ist. (i) C = {(13, 13, 7),(7, 5, 4),(1, −3, 1)}, V = \(R^{3}\); (ii) C = {(2, 1, −1, 0),(2, 0, 1, −1),(−5, 1, −1, 1),(0, 1, −2, 1)}, V = {\(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\), \(x_{4}\)) ∈ \(R^{4}\); \(x_{1}\) + 3\(x_{2}\) + 5\(x_{3}\) + 7\(x_{4}\)= 0}; (iii) C = {\(x^{2}\) − 1, 2\(x^{2}\) − x − 1}, V = {f ∈ R[x] ; grad(f) < 3 und f(1) = 0}; (iv) C = {x + 1, \(x^{2}\) + x}, V = {f ∈ R[x] ; grad(f) < 4 und f(−1) = 0}.   Eine Basis muss linear unabhängig und ein Erzeugendensystem des Vektorraums sein. Mein bisheriger Ansatz: (i) C ist keine Basis, da der dritte Vektor linear abhängig von den ersten Beiden ist, da der \(R^{3}\) die Dimension 3 hat, besteht die Basis aus 3 Vektoren,daher kann man auch keinen weglassen oder hinzufügen. (ii) Ist keine Basis, da eine Ebene im \(R^{4}\) die Dimension 3 hat, das wir jedoch vier unabhängige Vektoren haben, lässt sich ein beliebiger Vektor weglassen, damit man eine Basis für V erhält. (Hier weiß ich jedoch nicht wie ich zeigen kann, dass der vierte Vektor überflüssig ist, schließlich sind sie ja linear unabhängig) (iii) und (iv) Hier bin ich mir unsicher, weiß nur das der Polynomring aus (iii) die Dimension 3 und aus (iv) die Dimension 4 hat, weiß allerdings nicht genau wie jetzt eine Basis dazu aussehen muss.   Danke für eure Mithilfe.

 

gefragt vor 1 Jahr
i
ichbins,
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1 Antwort
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Hallo,

Bei der ii) finde ich einen linear abhängigen Vektor. Rechne das nochmal nach.

Bei der iii) habe ich mir folgendes überlegt. Die Standardbasis der Polynome mit \( grad(f) < 3 \) ist

\( \{ x^2 , x , 1\} \)

Da wir aber die Einschränkung \( f(1) =0 \) haben, kann keine konstante Funktion in unserem Vektorraum sein.

Deshalb würde ich sagen wir büßen eine Dimension ein und haben lediglich einen 2-dimensionalen Vektorraum und hätten somit bereits eine Basis diese Vektorraums gefunden.

Was meinst du dazu?

Bei der iv) würde ich da ähnlich argumentieren nur das somit ein 3-dimensionaler Vektorraum resultiert. Aber wir brauchen ja auch noch ein Basiselement, das sich um die \( x^3 \) "kümmert".

Versuch mal einen zu finden.

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Jahr
christian strack, verified
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