Methode von Lagrange

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Kann mir jemand den Rechenweg aufzeigen von der Aufgabe? Ermitteln Sie nach der Methode von Lagrange die Stelle(n), an der bzw. an denen die notwendige Bedingung für lokale Extrema der gegebenen Funktion unter der gegebenen Nebenbedingung erfüllt ist:
  1. Maximiere die Funktion U(x,y) = x^(1/3) *  y^(1/3)
  2. unter der Nebenbedingung: 2x + y = 3
  3. Lösung (0,5 ; 2)

 

gefragt vor 1 Jahr, 5 Monate
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janmann,
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geantwortet vor 1 Jahr, 5 Monate
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maccheroni_konstante verified
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Schickst Du es mir nochmal ;-) ?

 
  -   janmann, vor 1 Jahr, 5 Monate

Mache ich morgen.   -   maccheroni_konstante, verified vor 1 Jahr, 5 Monate
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geantwortet vor 1 Jahr, 5 Monate
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janmann
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So, ich löse mal a, ich denke, dann sollte b auch kein Problem mehr darstellen.

a)

\(U(x,y)=x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}\) unter der Nebenbedingung \(2x+y=3\) maximieren.

1. Lagrange Funktion aufstellen:\( L(x,y,\lambda )=x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}+\lambda(2x+y-3)\)

2. Nach allen drei Variablen ableiten und nullsetzen: \(\bigtriangledown \lambda=0\)

I: \(L_x=\dfrac{y^\frac{2}{3}}{3x^\frac{2}{3}}+2\lambda =0\)

II: \(L_y=\dfrac{2\sqrt[3]{x}}{3\sqrt[3]{y}}+\lambda=0\)

III: \(L_\lambda=y+2x-3=0\)

3. Lambda eliminieren (Additionsverfahren) (I - 2*II):

IV: \(\dfrac{4 x - y}{\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}} = 0\)

4. Gleichungssystem lösen:

III: \(2x+y-3=0\)

IV: \(\frac{4 x - y}{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y}} = 0\)

\(\Rightarrow x=0.5,y=2\)

\(U(0.5,2)=\sqrt[3]{2}\)

geantwortet vor 1 Jahr, 5 Monate
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maccheroni_konstante verified
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Vielen Dank!!!!
geantwortet vor 1 Jahr, 5 Monate
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janmann
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