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So, ich löse mal a, ich denke, dann sollte b auch kein Problem mehr darstellen.
a)
\(U(x,y)=x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}\) unter der Nebenbedingung \(2x+y=3\) maximieren.
1. Lagrange Funktion aufstellen:\( L(x,y,\lambda )=x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}+\lambda(2x+y-3)\)
2. Nach allen drei Variablen ableiten und nullsetzen: \(\bigtriangledown \lambda=0\)
I: \(L_x=\dfrac{y^\frac{2}{3}}{3x^\frac{2}{3}}+2\lambda =0\)
II: \(L_y=\dfrac{2\sqrt[3]{x}}{3\sqrt[3]{y}}+\lambda=0\)
III: \(L_\lambda=y+2x-3=0\)
3. Lambda eliminieren (Additionsverfahren) (I - 2*II):
IV: \(\dfrac{4 x - y}{\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}} = 0\)
4. Gleichungssystem lösen:
III: \(2x+y-3=0\)
IV: \(\frac{4 x - y}{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y}} = 0\)
\(\Rightarrow x=0.5,y=2\)
\(U(0.5,2)=\sqrt[3]{2}\)
─ janmann 07.12.2018 um 23:09