1. Kommt darauf an, viele Wege führen nach Rom, aber wenn der Leher bzw. die Aufgabenstellung lautet: Löse mit Verfahren XX, dann bist du natürlich eingeschränkt. Ich kenne das aber aus schulischem Umfeld eig. nicht, dass nur "die" eine Lösung akzeptiert wird.

2. Zuerst kannst du den Term umschreiben, sodass die e-Funktion als Bruch im Nenner steht: \(\lim\limits_{x\to \infty}x^2e^{-x+2}=\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{x^2}{e^{x-2}}\) Jetzt haben wir einen Bruch der Form \(\dfrac{\infty}{\infty}\), den wir mit der l'Hospitalschen Regel lösen können, indem wir die Ableitung der einzelnen Terme bilden: \(\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{\left [ x^2 \right ]'}{\left [ e^{x-2}\right ]'}=\lim\limits_{x\to \infty}2xe^{-x+2}\) Den Konstanten Faktor können wir nun vorziehen:  \(2 \lim\limits_{x\to \infty}xe^{-x+2}=2\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x}{e^{x-2}}\). Jetzt das gleiche Spiel mit l'Hospital nochmal. Nach ableiten kommt man auf \(2\lim\limits_{x\to \infty}e^{-x+2}\). Jetzt berechnen wir den Grenzwert für den Exponentialwert: \(2\lim\limits_{x\to \infty}e^{-x+2}=2e^{\lim\limits_{x\to \infty}(-x+2)}\) Hierbei können wir sowohl von 2, als auch von -x den GW eigen bestimmen, wobei für 2 gilt, dass er 2 ist (Konstantenregel). Also bleibt noch  \(2e^{2-\lim\limits_{x\to \infty}x}\) wobei gilt: \(\lim\limits_{x\to \infty} x=\infty\). Und da eine Exp. schneller wächst, als eine Potenz, wird der Wert des Nenners größer, als der des Zählers: \(x^2e^{2-x}=\dfrac{x^2}{e^{x-2}}\). Oder man formt gegen Ende um zu \(e^2\cdot 2 \cdot \dfrac{1}{\infty}\) Wobei gilt, dass \(\dfrac{c}{\infty}=0\) ist. Somit ist \(e^2\cdot 2 \cdot 0 = 0\)

Nein, du drehst alle Vorzeichen um: \(e^{2-x}=e^{-(-2+x)}=\dfrac{1}{e^{-2+x}}\) Ableitung von e-Funktionen: \(\left [ e^{u(x)} \right ]'=e^{u(x)} \cdot u'(x)\) also in unserem Fall \(e^{2-x}\cdot (-1)=-e^{2-x}\)