Taylorpolynom und Landau-Symbol


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Hallo Leute, zu beweisen sind: a) \( exp(x) = 1 + x + o(x) für x \to 0 \) b) \( sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3) für x \to 0 \)   Als Hinweise sind vorgegeben: \(  \vert exp(x) - \sum_{n=0}^{N} \frac{x^n}{n!} \vert \le 2 \frac { \vert x \vert ^{N+1}} {(N+1)!} , falls \vert x \vert \le 1+ \frac{N}{2} \) \( x- \frac{x^3}{6} \le sin x \le x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}   Für 0 \le x \le \sqrt{12} \)   Ich kann weiß bis jetzt eigentlich nur, dass a) und b) Taylorpolynome sind. Das hatten wir aber noch nicht in der Vorlesung.  Ansonsten hab ich leider keinen Ansatz. Was genau ist o(x)?

 

gefragt vor 11 Monate, 3 Wochen
u
ultor,
Student, Punkte: 80
 
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1 Antwort
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Hallo,

du hast Recht damit, dass die Polynome durch die Taylorentwicklung zustande kommen. Das Landau Symbol steht dabei für die Abschätzung des Approximationsfehler.

\( O(x) \) sagt dabei aus das der Betrag des Fehlers kleiner als eine Konstante mal x ist, für ein x nahe der Null.

Eine Taylorentwicklung musst du hier aber nicht machen.

Bei der a) wenn du dir den Hinweis anguckst. Was ist dein N um auf dein Polynom zu kommen? Setze es ein und guck ob die Abschätzung größer oder kleiner als \( cx \) ist.

Bei der b) ist der Betrag des Fehlers kleiner als \( cx^3 \)

Grüße Christian

geantwortet vor 11 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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