Hallo,
im Gegenzug zum partiellen Differential, das nur Information über Ableitung in Richtung einer Koordinatenachse enthält, hat das totale Differential \( d\Phi\) Informationen über die komplette Ableitung.
Die Formel entsteht durch folgende Überlegung.
\( d\Phi = d\Phi_{(1)} + d\Phi_{(2)} + \ldots \)
Dabei bezeichnet \( d\Phi_{(1)} \) die totale Ableitung in die erste Richtung..
Im 1-D Fall ist der Zusammenhang zwischen dem totalen Differential der Funktion und dem totalen Differential der unabhängigen Variablen
\( df = f'(x) dx \)
Somit erhalten wir die Formel
\( d\Phi = \sum_i \frac {\partial \Phi} {\partial x_i} dx_i \)
Haben wir nun Raumrichtungen die von t abhängen, also eine Funktion \( \Phi(x_1(t) , x_2(t) , \ldots) \) dann können wir wieder über den 1-D Fall den Zusammenhang \( dx_i = x_i'(t) dt \) finden und kommen somit auf
\( d\Phi = \sum_i \frac {\partial \Phi} {\partial x_i} x_i'(t) dt = (\sum_i \frac {\partial \Phi} {\partial x_i} x_i'(t)) dt \)
Oder anders geschrieben deine obige Formel
\( \frac {d\Phi} {dt} = \sum_i \frac {\partial \Phi} {\partial x_i} x_i'(t) = \sum_i \frac {\partial \Phi} {\partial x_i} \frac {dx_i} {dt} \)
Die letzte Gleichung können wir nur mit der Parametrisierung t finden. Deshalb wird oft auf eine Parametrisierung zurückgegriffen um mit Vektorfelder besser rechnen zu können.
Dein letzter Ausdruck ist so nicht richtig. Das partielle Differential \( \partial x_i \) und das totale Differential \( dx_i \) sind nicht zwanghaft das selbe. Denk immer dran das \( \partial x_i \) und \( dx_i \) nicht wie Zahlen gehandhabt werden können.
\( \frac {\partial f} {dt} \)
Erfüllt soweit ich weiß keinen wirklichen mathematischen Sinn.
Tut mir leid das die Antwort dieses mal länger gedauert hat. Ich hoffe ich konnte die Frage klären.
Grüße Christian
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