Reflexivität bedeutet dass du zeigen sollst, das jede Matrix ähnlich zu sich selbst ist. Das ist eigentlich sehr einleuchtend. Welche Matrizen müssen S und T sein, mit A=B?

Symmetrie bedeutet, dass wenn A ähnlich zu B ist, auch B ähnlich zu A ist.

\( B = SAT \Rightarrow A = KBR \) mit \( K \in GL_m(K) \) und \( R \in GL_n(K) \)

Transitivität bedeutet, dass wenn A ähnlich zu B und B ähnlich zu C ist, dann ist auch A ähnlich zu C.

Der Trick bei der Symmetrie und Transitivität ist zu zeigen das es eben reguläre (invertierbare) Matrizen gibt, mit denen deine obige Gleichung erfüllt wird.

Zur ii)

Zum Verständnis, zwei Matrizen die ähnlich sind beschreiben im Prinzip die selbe lineare  Abbildung bezüglich einer anderen Basis.
Deshalb ist es denke ich recht schnell einsichtig das die beiden Matrizen auch den selben Rang haben müssen.

n ist nicht ganz richtig, Bei einer Matrix ist immer Zeilenrang=Spaltenrang. Bei einer mxn- Matrix, haben wir also m Zeilen und n Spalten. Nehmen wir mal an das \( m < n \) gilt. Dann können wir nicht mehr als m verschiedene Ränge haben, da immer Zeilenrang=Spaltenrang.

Also wie viele verschiedene Ränge gibt es?

Hallo, zur i) Genau du musst Reflexivität \( a \sim a \) Symmetrie \( a \sim b \Rightarrow b \sim a \) Transitivität \( a \sim b \land b \sim c \Rightarrow a \sim c \) überprüfen. Zur ii) Habt ihr schon das ähnliche Matrizen den selben Rang haben? Wenn ja wie viele verschiedene Ränge können mxn Matrizen  haben? Grüße Christian

Die Überprüfung der Dinge bei (i). Wie gehe ich das an? Ich kann mir darunter nicht wirklich etwas vorstellen. zur (ii). Gut möglich, dass wir das schon hatten. Ich würde jetzt auf n verschiedene Ränge tippen?