Stetigkeit mit epsilon-delta


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Hallo, wir sollen für f : R → R für (i) f(x):=\(\vert 2-x^{2}\vert\) und (ii) f(x):=\(\sqrt{\vert x-1\vert}\) mit dem \(\epsilon-\delta Kriterium \)zeigen, dass die Funktion in jedem a stetig ist. Ich bin dabei so vorgegangen (mir geht es dabei nur darum, ob der Ansatz ok ist, nicht um den vollständigen Beweis): (i)\(\vert f(x)-f(a)\vert=\vert\vert2-x^2\vert-\vert2-a^2\vert\vert\le\vert2-x^2-2+a^2\vert=\vert x^2-a^2\vert=\vert(x+a)(x-a)\vert < \delta \vert x+a\vert=\delta\vert x-a+2a\vert\le\delta(\vert x-a\vert+2\vert a\vert)<\delta (\delta+2\vert a\vert)\) Demnach muss ich also \(\delta=-\vert a\vert+\)\(\sqrt{a^2+\epsilon} \) wählen. (ii)\(\vert f(x)-f(a)\vert=\vert\sqrt{\vert x-1\vert}-\sqrt{\vert a-1\vert}\vert\) Für a=1 folgt dann: \(\vert f(x)-f(a)\vert=\vert\sqrt{\vert x-1\vert}-0\vert=\sqrt{\delta} \), also muss ich für \(\delta=\epsilon^2\) wählen. Für a\(\neq\)1 dann: \(\vert f(x)-f(a)\vert=\vert\sqrt{\vert x-1\vert}-\sqrt{\vert a-1\vert}\vert=\vert\frac{\vert x-1\vert-\vert a-1\vert}{\sqrt{\vert x-1\vert}+\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert\le\vert\frac{\vert (x-1)-(a-1)\vert}{\sqrt{\vert x-1\vert}+\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert=\vert\frac{\vert x-a\vert}{\sqrt{\vert x-1\vert}+\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert<\vert\frac{\delta}{\sqrt{\vert x-1\vert}+\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert\le\vert\frac{\delta}{\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert\), also für \(\delta=\epsilon\sqrt{\vert a-1\vert}\) Bin mir nicht sicher, ob ich das alles so abschätzen kann, wie ich das mache, wäre deswegen dankbar, wenn nochmal jemand verbessern könnte.

 

gefragt vor 11 Monate, 2 Wochen
i
ichbins,
Student, Punkte: 23
 

i)

\( \vert f(x)-f(a)\vert=\vert\vert2-x^2\vert-\vert2-a^2\vert\vert\le\vert2-x^2-2+a^2\vert=\vert x^2-a^2\vert \\ =\vert(x+a)(x-a)\vert < \delta \vert x+a\vert=\delta\vert x-a+2a\vert\le\delta(\vert x-a\vert+2\vert a\vert)\\ <\delta (\delta+2\vert a\vert) \)

ii)

\( \vert f(x)-f(a)\vert=\vert\sqrt{\vert x-1\vert}-\sqrt{\vert a-1\vert}\vert=\vert\frac{\vert x-1\vert-\vert a-1\vert}{\sqrt{\vert x-1\vert}+\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert \\ \le\vert\frac{\vert (x-1)-(a-1)\vert}{\sqrt{\vert x-1\vert}+\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert=\vert\frac{\vert x-a\vert}{\sqrt{\vert x-1\vert}+\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert<\vert\frac{\delta}{\sqrt{\vert x-1\vert}+\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert\le\vert\frac{\delta}{\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert \)

  -   christian strack, verified kommentiert vor 11 Monate, 2 Wochen
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1 Antwort
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Hallo,

sieht für mich alles richtig aus.

Noch zur Nutzung von Mathjax du musst ab und zu Zeilenumbrüche machen mit \\, ansonsten kann man das nicht alles lesen. Ich habe es der Anschauung halber unter deinem Text nochmal richtig dargestellt.

Grüße Christian

geantwortet vor 11 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.7K
 
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