Einige Dinge überprüfen


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Hallo,   ich habe an dieser Aufgabe schon gearbeitet. Ich habe vorerst folgende Lösungen: (i) Wahr (ii) Falsch (iii) Wahr (iv) Hier habe ich noch keinen Ansatz (v) Wahr     Ist das soweit korrekt? Und über einen Ansatz zur (iv) würde ich mich sehr freuen. Die Determinante müsste dort ja ungleich 0 sein.   Vielen Dank und viele Grüße!

 

gefragt vor 10 Monate, 3 Wochen
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tisterfrimster,
Student, Punkte: 208
 
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1 Antwort
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Hallo, zur iii) es gilt \( A^n = S D^n S^{-1} \) Da auf der Diagonalen die Eigenwerte stehen gilt für die Eigenwerte \( \mu \) von \( A^2 \) \( \mu = \lambda^2 \) Mit \( \lambda \) eine n Eigenwert von A. Also gilt die Aussage im Allgemeinen nicht. zur iv) Mit der obigen Gleichung und der Eigenschaft, das ähnliche Matrizen die selbe Determinante haben, kannst du die Diagonalmatrix der Inverse sogar sofort angeben. Grüße Christian
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.22K
 

zu (iii): Das verstehe ich nicht ganz. Auf der Diagonalen von D stehen alle Eigenwerte von A? Kommt mir neu vor.

Wie kommt das My gleich Lambda² zustanden?
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 3 Wochen

Habt ihr schon mal eine Matrix diagonalisiert? Das ist die gängige Vorgehensweise um die Diagonalmatrix zu bestimmen. 

Auf Diagonalisierbarkeit überprüfen. Eigenwerte bestimmen und auf die Hauptdiagonale schreiben.

Ähnliche Matrizen haben das selbe charakteristische Polynom. Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge der Hauptdiagonalen. Dies müssen also die Eigenwerte sein.

Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, dann ist sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix

\( D = S^{-1} A S \)

Die Formel die ich oben geschrieben habe resultiert aus

\( S D S^{-1} = S S^{-1} A S S^{-1} = A \)

Wenn wir das nun quadrieren erhalten wir

\( A \cdot A =  S D S^{-1} S D S^{-1} = S D D S^{-1} = S D^2 S^{-1} \)

Das kannst du nun induktiv fortführen.

Da aber nun auf der Hauptdiagonalen der Diagonalmatrix die Eigenwerte stehen werden diese beim quadrieren von A auch quadriert.

Es gilt ja für eine Diagonalmatrix

\( D^n = \begin{pmatrix} d_1^n & 0 & 0 & \ldots \\ 0 & d_2^n  & 0 & \ldots \\ \vdots & & \ddots & \end{pmatrix} \)

Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 3 Wochen
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