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Habt ihr schon mal eine Matrix diagonalisiert? Das ist die gängige Vorgehensweise um die Diagonalmatrix zu bestimmen.
Auf Diagonalisierbarkeit überprüfen. Eigenwerte bestimmen und auf die Hauptdiagonale schreiben.
Ähnliche Matrizen haben das selbe charakteristische Polynom. Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge der Hauptdiagonalen. Dies müssen also die Eigenwerte sein.
Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, dann ist sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix
\( D = S^{-1} A S \)
Die Formel die ich oben geschrieben habe resultiert aus
\( S D S^{-1} = S S^{-1} A S S^{-1} = A \)
Wenn wir das nun quadrieren erhalten wir
\( A \cdot A = S D S^{-1} S D S^{-1} = S D D S^{-1} = S D^2 S^{-1} \)
Das kannst du nun induktiv fortführen.
Da aber nun auf der Hauptdiagonalen der Diagonalmatrix die Eigenwerte stehen werden diese beim quadrieren von A auch quadriert.
Es gilt ja für eine Diagonalmatrix
\( D^n = \begin{pmatrix} d_1^n & 0 & 0 & \ldots \\ 0 & d_2^n & 0 & \ldots \\ \vdots & & \ddots & \end{pmatrix} \)
Grüße Christian
─ christian_strack 13.01.2019 um 23:50
Wie kommt das My gleich Lambda² zustanden? ─ tisterfrimster 13.01.2019 um 18:32