Lineare Abbildungen


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hallo! Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Weiß gar nicht wie ich anfangen soll...

 

gefragt vor 10 Monate, 3 Wochen
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malro10,
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5 Antworten
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Hallo, im Kern sind alle Elemente die durch die Abbildung auf die Null abgebildet werden. Für \( f: V \to W \) \( Ker(f) = \{v \in V \vert f(v) = 0 \in W \} \) Im Bild sind alle Elemente auf die die Abbildung tatsächlich abbildet. \( Im(f) = \{ f(v) \vert v \in V \} \) Ich helfe dir mal bei der ersten Wir wollen also wissen welche Vektoren alles auf die Null abbilden. Dafür lösen wir die Gleichung. \( x-y = 0 \Rightarrow x = y \) Wir müssen eine Variable frei wählen, sagen wir \( x=t \) dann erhalten wir automatische \( y = t \) Also erhalten wir als Lösungsvektor \( \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} \) Damit können wir einen Basisvektor finden und erhalten die Basis \( \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \} \) Nun zum Bild. Dafür wollen wir wissen welche Vektoren aus \( \mathbb{R} \) die Abbildung wirklich annimmt. Gucken wir uns dafür unsere Funktion an. \( f(x,y) = x-y \) Wenn wir für x oder y Null wählen sieht man ja bereits das jede reelle Zahl angenommen werden kann. Also ist unser Bild ganz \( \mathbb{R} \) Eine mögliche Basis wäre dann \( \{ 1 \} \) Bei den nächsten ist es nur etwas anders, da wir in den \( \mathbb{R}^2 \) oder \( \mathbb{R}^3 \) abbilden. Deshalb hast du jetzt für jede Koordinate eine Gleichung. Für den Kern musst du dann jede Koordinate gleich Null setzen und für das Bild musst du deine Basisvektoren direkt aus der Funktion ablesen. Bei Rückfragen melde dich nochmal Grüße Christian
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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aufg Das habe ich bei b) rausbekommen weiß aber verstehe das mit der Basis des Bildes nicht. Ist hier das erzeugenden System gemeint?
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
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malro10,
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Hallo,

die Rechnung zum Kern ist schon mal richtig. Der Kern besteht dann nur aus dem Nullvektor

Wie gesagt, das Bild sind alle Vektoren auf die die Abbildung tatsächlich abbildet.

Wie du richtig erkannt hast haben wir die Abbildungsmatrix

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \)

Nun kann man anhand dieser Matrix bereits die Basis ablesen. Die Basis sind nämlich die Spaltenvektoren, also

\( \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \} \)

Grüße Christian

geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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also wenn ich es richtig verstanden habe sind die Basis der abbildung immer die Zeilenvektoren?
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
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malro10,
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Ich habe mich oben verschrieben. Es sind die Spaltenvektoren. Aber diese habe ich ja auch in die Basis geschrieben. Habe es korrigiert,

Aber zu allererst es ist die Basis des Bildes der linearen Abbildung.

Ja, aber nur die lineare unabhängigen Spalten. Das kannst du dir auch leicht veranschaulichen, indem du dir deine Abbildung einmal anguckst.

\( \varphi: (x,y) \to (x+2y, 2x-y) \)

Stellen wir das Ergebnis als Vektor da, bekommen wir

\( \begin{pmatrix} x+2y \\ 2x-y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \)

\( \Rightarrow \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \} \)

Grüße Christian

 

geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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