Hallo,

das ist die Schreibweise für eine Abbildung / Funktion.

Bspw. bedeutet \(f: A \rightarrow B : x\mapsto x^2\), die Abbildung f aus A nach B, die x auf \(x^2\) abbildet.
A und B sind zwei Mengen, wobei den Elementen \(x \in A\) durch die Abbildung genau ein Element \(x^2 \in B\) zugeordnet wird.

\(\mathbb{R}\) stellt hierbei die Gesamtheit der reellen Zahlen dar, also die Vereinigung der rationalen und irrationalen Zahlen.

\(f:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^2\) bedeutet also, dass du deiner Funktion (vermutlich f) ein Element aus der Definitionsmenge (geschlossenes Intervall von 0 bis 2 \(\pi\)) ein eindeutiges Element des kartesischen Produkts der Menge \(\mathbb{R}\)  zuordnest. Ein Kreis ist schließlich zweidimensional, es gilt
\(x=x_M+r\cos \varphi,\: \ y=y_M+r\sin \varphi\). Anders ausgedrückt, \(\mathbb{R}^2\) ist die Menge aller Paare (x,y) aus reellen Zahlen.

\(t \mapsto (\cos(t)\cdot \sin(t))\) heißt, dass du deine Variable t auf \(\cos(t)\cdot \sin(t))\) abbildest.

Ich glaube aber eher, dass du die Darstellung \(f(t)=\begin{pmatrix}
r \cos t\\
r \sin t
\end{pmatrix}\) meinst, die den Kreis als Kurve abbildet.