Hallo,
tut mir leid das es diese mal etwas länger dauert, aber ich bin auch noch nicht auf die genaue Lösung gestossen, aber ich beschreibe schon mal meine Idee:
Du musst um die Gleichheit von \( (-1)^n (n+1) = \sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} D_{ij} \) zu zeigen, zuerst einen Ausdruck für die Unterdeterminante finden.
Berechnen wir die Determinante der Matrix \( A_n \) in dem wir nach der ersten Zeile entwickeln, erhalten wir folgendes:
\( det(A_n) = -2 det(A_{n-1}) + \sum_{j=2}^n (-1)^{1+j} D_{1j} \)
Die \( D_{1j} \) sehen ähnlich aus wie die Matrix \( A_n \) mit Ausnahme eines Einsvektors in der ersten Spalte und einen Einsvektor in der j-ten Zeile. Dadurch ist die erste \( -2 \) in der zweiten Spalte und zieht ab da eine Diagonale, die nur durch die Einszeile unterbrochen wird.
Wenn wir diese \( D_{1j} \) weiter Entwickeln würden, nach der j+1-ten Zeile, erhalten wir nur 2 Unterdeterminanten die nicht Null werden. Die erste (streichen der erste Spalte und j+1-ten Zeile) mit dem Vorfaktor 1 und die Unterdeterminante mit dem Vorfaktor (-2). Diese beiden resultierenden Unterdeterminanten haben wieder die selbe Struktur von \( D_{1j} \), nur das sie die Einsvektoren an anderen Stellen haben.
Du solltest das ganze vielleicht mal anhand einer \( 5x5 \)-Matrix berechnen um dir das ganze zu visualisieren.
Ich denke das kann man n-mal wiederholen und erhält somit eine Gleichung für die Determinante ohne Unterdeterminanten. Dieser resultierende Term muss dann mit deiner ersten Formel gleichgesetzt werden und mit vollständiger Induktion bewiesen werden.
Ich bin leider gleich erstmal noch unterwegs. Ich werde es mir heute Abend nochmal weiter angucken.
Grüße Christian
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