Hallo,

für das kleinste Element \( x \) gilt, dass jedes andere Element aus der Menge "höher geordnet" ist.

Für das minimale Element \( x \) gilt, dass jedes Element das "kleiner geordnet" ist als \( x \) ist auch gleich \( x \) ist.

In einer Totalordnung bedeutet kleinstes und minimales Element das selbe. In einer Halbordnung kann es mehrere minimale Elemente geben und somit kein kleinstes Element.

Als Beispiel:

\( M:= \{[0,a] \vert 0 < a < 1 \} \cup \{2\} \) versehen mit der Halbordnung \( \subseteq \) hat als einziges minimales Element \( \{2\}  \) , da aber nicht für alle \( A \) aus \( M \) , \( \{2\} \subseteq A \) gilt, ist es kein kleinstes Element.

Grüße Christian