Lösen von linearen Gleichungssystemen

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Hallo an alle,

ich bin gerade dabei ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem zu lösen, komme aber nicht weiter, weil mein Mathelehrer uns als Tipp gesagt hatte dass es als Ergebnis eine Lösungsmenge haben wird, die von t abhängig ist, bzw. dass mehrere Lösungen hat. 

 

1. -3x + 2y + -1z = 1

2. 2x + -3y +1z = 1

Danke im Vorraus

 

gefragt vor 1 Jahr, 3 Monate
r
rosajiyan,
Schüler, Punkte: 122
 
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1 Antwort
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Hallo,

ein lineares Gleichungssystem kann nur exakt gelöst werden, wenn man genauso viele Gleichungen hat wie Unbekannte. Da du jetzt nur 2 Gleichungen hast, aber 3 Unbekannte, müssen wir die Lösung in Abhängigkeit einer Variable berechnen.

\(-3x+2y-1z= 1 \\ 2x +3y +1z = 1\)

Addieren der beiden Gleichungen führt uns zu

\( x + 5y = 2 \\ \Rightarrow x = 2 - 5y \)

Nun setzten wir \( y=t \) und erhalten dann für \( x \)

\( x = 2 -5t \) 

und letztlich für \( z \)

\( 2x+3y +1z = 1 \\ \Rightarrow z = 1 - 2x - 3y = 1 - 2(2-5t) -3t = -3 +7t \)

Damit erhalten wir den Lösungsvektor

\( \vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} \) 

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
christian_strack verified
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