Geschwindigkeit und Beschleunigung- Differentialrechnung in der praktischen Anwendung


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Der Weg eines Autos beim Bremsen wird durch die Funktion s(t)= 20t-2t² beschrieben.

Ermittle die Bremsverzögerung (negative Beschleunigung).

 

gefragt vor 10 Monate, 1 Woche
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ida80@gmx.at,
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1 Antwort
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Hallo,

stell dir vor du sitzt in einem Auto und fährst mit \( 120\frac {km} h \) über die freie Autobahn. Wenn du durchgehend diese Geschwindigkeit hälst, dann bist du in einer Stunde genau \( 120 \ km \) gefahren. 

Wie weit du mit deinem Auto in dieser Stunde kommst, hängt also davon ab wie schnell du fährst. 

Stellen wir den Zusammenhang aus dem obigen Beispiel als Formel dar, bekommen wir \( s(t) = 120 \cdot t \).
Vergleichen wir das mit einer Gerade, so ist hier \( m=120 \) unsere Steigung. Diese Überlegung, kann man auch auf nicht lineare Streckengleichungen erweitern. Daniel hat dazu ein anschauliches Video.

Also ist die Geschwindigkeit die Steigung des zurück gelegten Weges. Diese Überlegung können wir auch auf die Beschleunigung übertragen. 

Beschleunigt man, so ändert man die Rate(Geschwindigkeit) mit der sich der Graph bewegt ( der Weg zurückgelegt wird). Wir haben also die Beschleunigung als zweite Ableitung.

\( \Rightarrow v = \frac {ds(t)} {dt} = s'(t) \\ a = \frac {d^2s(t)} {dt} = s''(t) \)

Nun wird die negative Bremsbeschleunigung gesucht. Also musst du deine obige Gleichung zweimal ableiten. 

Für die zweite Aufgabe musst du die Gleichung einmal ableiten und erhälst eine Gleichung für die Geschwindigkeit.
Du willst wissen wann das Auto zum Stillstand kommt. Wie ist die Geschwindigkeit, wenn das Auto steht? 

Dadurch kannst du einen Wert für \( t \) bestimmen und durch einsetzen in \( s(t) \) erhälst du den Bremsweg.

Grüße Christian

geantwortet vor 10 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
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