Hallo,

die Beweise laufen eigentich alle ziemlich Analog ab.

Da \( ( X, * ) \) ein Monoid ist, gibt es eine Funktion \( e(a) \) für die gilt:

\( f(a) * e(a) = f(a) \ , \forall f(a) \in X \).

Nun ist aber \( \circledast \) definiert als \( f \circledast e = f(a) * e(a) = f(a) \). Somit liegt ein neutrales Element vor.

Grüße Christian

Wäre c) also der Beweis de Inverse richtig?

bei d) denke ich ist der Beweis der kommutativität unvollständig. Nur weiß ich nicht wie ich es ausführlicher machen soll.

Ja soweit passt das, ich sehe gerade nur ich habe es auch nicht ganz richtig geschrieben. Wenn wir uns in der Gruppe \( ( X^M , \circledast ) \) haben wir keinen Werte mehr sondern Abbildung. Deshalb ist die Inverse \( f^{-1} \in X^M \) (ohne das (a) ). 

Beim Monoid oben gilt dann auch \( e(a) \in X , \ e \in X^M \)

Bei der d), würde ich dass ohne das impliziert Zeichen schreiben. Einfach 

\( x \circledast y = x(a) * y(a) = y(a) * x(a) = y \circledast x \) ,da \( ( X, * ) \) abelsch ist.

Grüße Christian