Hallo,
wenn in einem Satz steht "genau dann wenn" musst du die Äquivalenz der beiden Aussagen zeigen, also
\( \varphi \text{ ist injektiv} \Leftrightarrow \ker(\varphi) = \{e_G\} \)
Fangen wir mit "\(\Rightarrow\)" an
Die Definition des Kerns eines Gruppenhomomorphismus ist
\( \ker(\varphi) =\varphi^{-1} (e_H) \) für \( \varphi: G \mapsto H \)
Also sind im Kern alle Elemente die auf das neutrale Element der Bildmenge abbilden.
Injektiv heißt \( f(x) = f(y) \Rightarrow x=y \)
Bekommst du es damit zusammen gebastelt?
Für die andere Richtung nimmst du an, das es zwei Elemente aus G gibt, die auf das selbe Element in H abbilden, also
\( g, \overline{g} \in G , h \in H \) mit \( \varphi(g) = \varphi(\overline{g}) = h \)
Nun bestimme mal \( \varphi(g * \overline{g}^{-1} ) \)
Du musst einen Widerspruch erzeugen.
Grüße Christian
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