Hallo,

unser Vektorraum hat die Basis

\( \mathcal{B} := \{ (x^3+x^2) , (x +1) \} \)

Diese Basis wollen wir nun orthonormalisieren. 

Unser erster Vektor unsere Orthonormalbasis, ist der erste Vektor unserer ursprünglichen Basis, nur das wir ihn noch normalisieren müssen ( auf die Länge \( 1 \) bringen).
Dafür teilen wir den Vektor durch seine eigene Länge und so erhält er die Länge \( 1 \).

\( q_1 = \frac {p_1} {\Vert p_1 \Vert_W} \)

\(p_1 \) ist unser Vektor \( (x^3 +x^2 ) \). Die Länge des Vektors bestimmen wir über die Wurzel des Skalarproduktes vom Vektor mit sich selbst. Also \( \Vert p_1 \Vert_W = \sqrt{<p_1,p_1>}_W  \)

Nun wurde das Skalarprdodukt aber folgendermaßen definiert:

\( <a(x^3+x^2)+b(x+1) , c(x^3+x^2) +d (x+1) > = 4ac+4bd \)

Für \( <p_1,p_1>_W = <(x^3+x^2) , (x^3+x^2)>_W  \) , gilt \(a=c=1 {,} b=d=0 \). Also

\( <p_1,p_1>_W = 4 \cdot 1 \cdot 1 + 4 \cdot 0 \cdot 0 = 4 \)

Wir erhalten also insgesamt 

\( q_1 = \frac 1 {\sqrt{4}} (x^3+x^2) = \frac 1 2 (x^3+x^2) \)

\( l_2 \) ist dann ein Vektor, der orthogonal zu \( q_1 \) . Diesen müssen wir nun wieder normieren und erhalten den zweiten Vektor \( q_2 \).

Grüße Christian