Hallo,
das Bild einer Abbildung beinhaltet alle Elemente, die von der Abbildung angenommen werden. Wir gucken uns also unsere Lösungsmatrix an
\( \begin{pmatrix} 2(a+b) & 2(a+b) \\ 3c & c \end{pmatrix} \)
Wir können ab hier zwei Wege gehen. Entweder wir sehen sofort, das \( a \) und \( b \) nur als \( (a+b) \) vorkommen und ersetzen sofort \( (a+b) \) durch einen neuen Parameter \( w \) oder wir ziehen die Summe auseinander und erhalten
\( \begin{pmatrix} 2a +2b & 2a + 2b \\ 3c & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & 2a \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2b & 2b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3c & c \end{pmatrix} \\ = 2a \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 2b \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)
Wir haben also 3 Matrizen von denen aber die ersten beiden Matrizen gleich sind also insbesondere linear abhängig. Somit bleiben als Basisvektoren für das Bild von \( L \)
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)
Hätten wir \( (a+b) = w \) gesetzt hätten wir
\( \begin{pmatrix} 2w & 2w \\ 3c & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2w & 2w \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3c & c \end{pmatrix} \\ = 2w \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)
Wir erhalten hier sofort die 2 Basismatrizen.
Schlussfolgernd haben wir also 2 Basismatrizen des Bildes und somit hat unser Bild die Dimension 2.
Grüße Christian
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