Ansatz zu Extremalproblem: Rechteck in Tunnel


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Hi, hat einer eine Ansatz für mich? Ich komme da einfach nicht drauf

habe bisher:

b=8-2x

 = h*b

A(halbkreis) =    (pi*r²)/2  = (pi*4²)/2 = 8 pi

verstehe auch nicht wieso und vorallem wo ich den pythagoras anwenden soll

Vielen Dank schonmal!

 

gefragt vor 9 Monate, 2 Wochen
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samira,
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3 Antworten
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Hi,

gehen wir mal davon aus, dass der Ursprung des Koordinatensystems seinen Ursprung in der Mitte des Tunnels auf dem Boden hat, so dass der Ursprung im Mittelpunkt des "Kreises" liegt. Dann kannst du die Kreisgleichung verwenden (ich glaube, dass damit der Tipp zum Pythagoras gemeint war). Die Kreisgleichung lautet

\( x^{2} + y^{2} = r^{2} \)

Das bedeutet, dass in diesem Fall bei einem Radius von \(4m \) die Gleichung 

\( x^{2} + y^{2} = 4^{2} \)

lautet. Dies möchten wir aber für die folgende Bearbeitung nach y auflösen. Deswegen erhalten wir

\(y = + \sqrt{4^{2} - x^{2}} \)

Warum machen wir das aber alles? Dadurch, dass wir den Ursprung des Korrdinatensystems in den Mittelpunkt des Kreises gelegt haben, lautet die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks 

\( A = 2x_{0} \cdot y_{0} \)

Wir betrachten den Wert auf der x-Achse also etwas anders, damit wir die Bedingung haben, dass \(x_{0} \) und \(y_{0} \) selbstverständlich nicht länger sein dürfen als der Radius \( 4 \).

Du hast nun also eine Hilfszielfunktion 

\( A(x_{0}) = 2x_{0} \cdot y_{0} \)

Nun haben wir aber durch die Kreisgleichung schon eine Umformung von \(y\), wodurch die Hilfszielfunktion nur noch von einer Variablen abhängt:

\(A(x_{0}) = 2x_{0} \cdot \sqrt{4^{2} - x_{0}^{2}} \)

Nun ist es deine Aufgabe ein Maximum dieser Hilfszielfunktion zu bestimmen. Falls dir das Ableiten durch den Wurzel-Ausdruck zu schwer fallen sollte, kannst du auch die Funktion

\(A^{2}(x) = 4x_{0}^{2} (4^{2} - x_{0}^{2}) = 64x_{0}^{2} - 4x_{0}^{4} \)

betrachten, denn: Hat eine positive Funktion \(f \) ein Maximum in einem Intervall \([a,b] \), so hat auch \(f^{2}\) ein Maximum an derselben Stelle. Du musst dann nur lediglich zum Schluss den optimalen x-Wert, den du bei \(A^{2}(x)\) rausbekommen hast in \(A(x) \) einsetzen, damit du auch den richtigen Optimalwert (maximal möglicher Flächeninhalt) als Lösung bekommst.

geantwortet vor 9 Monate, 2 Wochen
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kevin216,
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Kevin126 

vielen Dank erstmal ich wäre da nie drauf gekommen

ich verstehe aber noch nicht ganz wie du auf die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks kommst. A=x₀* y

geantwortet vor 9 Monate, 2 Wochen
s
samira,
Schüler, Punkte: 4
 
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Du möchtest später Punkte, die die Nebenbedingung (die Kreisgleichung) erfüllen, in diese Hilfszielfunktion einsetzen, um von all diesen Punkten das Maximum zu bestimmen. 
In der Praxis wird es natürlich so gemacht, dass wir die Nebenbedingung umstellen und in die Hilfszielfunktion einsetzen, um so direkt eine Hilfszielfunktion zu erhalten, dessen Definitionsbereich nur zulässige Punkte der Kreisgleichung enthält.

Somit sollte eines klar sein: Die Hilfszielfunktion muss an die Wahl der Kreisgleichung in Bezug auf die Positionierung des Koordinatensystems angepasst sein.
Dadurch, dass der Ursprung im Mittelpunkt des Kreises liegt ist das linke Ende des Tunnels bei \(x=-4\) und das rechte Ende bei \(x=4\) mit einer Gesamtbreite von \(8\). Entsprechend der vorliegenden Symmetrie an der y-Achse stellt sich allgemein heraus, dass die Breite des Rechtecks gleich \(2 \cdot \lvert x \rvert \) ist. Jedoch kann man die Betragsstriche wegfallen lassen und nach einem Punkt auf der Kreisgleichung mit \( x \geq 0\) suchen.

Insgesamt folgt also für die Hilfszielfunktion, dass die Breite gegeben ist durch \(2x_{0}\) und die Höhe durch \(y_{0}\), also für den Flächeninhalt eines Rechtecks:

\(A = 2x_{0} \cdot y_{0} \)

geantwortet vor 9 Monate, 2 Wochen
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kevin216,
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