Invariante Unterräume bestimmen

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Wie kann ich hier alle Invarianten Unterräume bestimmen?

 

Ich habe alle 1-dim. Unterräume mittels Eigenwert und Eigenvektoren ermittelt, nun ist meine Frage wie ich auf die anderen komme?

Sind das nur die Linearkombinationen der 1-d. Unterräume?

Und wenn ja, wieso ist dem so?

 

Vielen Dank

Zwahlen Christian

 

gefragt vor 1 Jahr, 2 Monate
c
chrugi,
Student, Punkte: 83
 
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1 Antwort
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Hallo,

fangen wir erstmal mit den trivialen invarianten UVR an. Dies sind für deine erste Matrix \( U_1 = \mathbb{R}^2 \) und \( U_2 = \{0\} \). 

Dann kommen die 1-D invarianten UVR. Dies sind wie du bereits richtig gesagt hast die Eigenräume \( ( E_i) \). Wenn nun eine Matrix diagonalisierbar ist, spannen diese Eigenräume bereits den gesammten Raum auf, also

\( \mathbb{R}^n = E_1 \oplus \ldots \oplus E_n \) 

Wenn deine Matrix nicht diagonalisierbar ist, solltest du noch die Haupträume bestimmen. Diese sind natürlich auch invariant. 

Nun kommen wir noch zu den restlichen invarianten UVR. Wie du schon richtig vermutest, enstehen die weiteren UVR durch Linearkombinationen.

Es gibt einen Satz der besagt, dass jeder Durchschnitt und jede Summe invarianter UVR wieder invariant ist. Da wir nach linear unabhängigen UVR suchen, können wir uns einfach an den Eigenräumen bedienen und durch die direkte Summe zweier Eigenräume wieder einen invarianten UVR finden. 

Also zusammengefasst. Eigenräume und gegebenenfalls Haupträume bestimmen und durch Summen und Schnitte die restlichen invarianten UVR bestimmen. 
Da diese linear unabhängig sein sollen, findest du beispielsweise im 3-dimensionalen maximal 3 1D, 2 2D und einen 3D invarianten UVR (und natürlich den 0D invarianten UVR \( \{0 \} \)).

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Jahr, 2 Monate
christian_strack verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 22.56K
 

Hallo Christian


Vielen Dank, hat sich einiges geklärt :)


 


Grüsse Christian

  -   chrugi, vor 1 Jahr, 2 Monate

Freut mich zu hören. :)


Grüße Christian

  -   christian_strack, verified vor 1 Jahr, 2 Monate
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